小蜜蜂問答

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sin(n)有可能是有理數嗎？

停停停發表于娛樂2021-10-23

龍翔九州2021-10-24 18:42:11

不可能。

Lindemann–Weierstrass定理告訴我們：一組互不相同的代數數

$\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}$

給出的指數

$\{\mathrm e^{\alpha_1},\mathrm e^{\alpha_2},\ldots,\mathrm e^{\alpha_n}\}$

在代數數範圍內是

線性獨立

的，也就是說

$r_1\mathrm e^{\alpha_1}+r_2\mathrm e^{\alpha_2}+\cdots+r_n\mathrm e^{\alpha_n}=0$

不存在非零代數數解。

$n\ne 0$

時假設

$\sin n$

是代數數，則

$\cos n=\pm\sqrt{1-\sin^2n}$

自然也是代數數。取

$\{\alpha_k\}$

為

$\{0,n\mathrm i\}$

，

$\sin n$

的代數性說明

$\{\mathrm e^0,\mathrm e^{n\mathrm i}\}$

，即

$\{1,\cos n+\mathrm i\sin n\}$

不是線性獨立的（因為

$1\cdot(\cos n+\mathrm i\sin n)-\mathrm e^{n\mathrm i}\cdot 1=0$

），這與Lindemann-Weierstrass定理矛盾了，故

$\sin n$

只可能是超越數，不可能是有理數。

量化調酒師2021-10-26 10:59:43

當

限定為非零整數的時候，

$\sin(n)$

和

$\cos(n)$

肯定都是無理數。證明方法和證明

$\pi$

是無理數類似，在Niven的《Irrational Numbers》上是這麼證明“

$\cos$

（非零有理數） = 無理數”的。

利用這個結論，很容易得到以下兩個推論：

1）

$\pi$

是無理數。假設

$\pi$

是有理數，因為

$\cos(\pi)=-1$

和上面的定理矛盾。

2）其他三角函式

$\sin(n), \tan(n), \cot(n), \sec(n), \csc(n)$

都是無理數。

假設

$\sin(n)$

是有理數，則

$\cos(2n)=1-2\sin^2(n)$

為有理數，矛盾。

假設

$\tan(n)$

是有理數，則

$\cos(2n)=\frac{1-\tan^2(n)}{1+\tan^2(n)}$

為有理數，矛盾。

而

$\cot(n), \sec(n), \csc(n)$

分別是無理數

$\tan(n), \cos(n), \sin(n)$

的倒數，也是無理數。

大鈾子2021-10-26 16:42:21

角度制下可能是有理數。

hhhhhh2021-11-01 01:43:14

除了n=0別無可能。

何冬州楊巔楊豔華典生2021-11-07 06:26:30

這裡，角度單位沒有宣告為度（1度（°）=60分（′）=3600秒（″）），而弧度制預設允許弧度制之下的角度單位弧度省略不寫，故此處認為角度以弧度為預設單位。

n∈Z，取n=0，Sin［n］=0，此時Sin［n］為有理數。

若n∈Z且n≠0，此時Sin［n］不能為有理數，只能是無理數。理由見

sin（n）有可能是有理數嗎？

或

sin（n）有可能是有理數嗎？

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標籤：有理數無理數代數弧度 sin