為了說明引入對數的必要，不妨考慮那些底數和指數都未知的運算。我們相對熟悉的函式是冪函式

x\mapsto x^a

和指數函式

x\mapsto a^x.

可是冪指函式

x\mapsto x^x

似乎要難懂得多。

首先明確一下冪指函式的定義域。在有關實數和函式的問題中，我們迴避負數的非整數次冪，也不關心零的零次冪，因此認為冪指函式的定義域是

\left(0,+\infty\right).

利用對數，可以將這樣的運算轉化成熟悉的形式

x^x=\mathrm e^{\ln x^x}=\mathrm e^{x\ln x}.

現在我們使用這種技巧討論一個有關冪指函式的問題。

6 (20 分) 設

a\in\mathbb R,

函式

f\left(x\right)=ax+\left(2x\right)^x.

(1) 當

a=0

時，求

f

的最小值；

(2) 判斷是否存在

a\in\mathbb R,

使得

f

單調遞增。

使用上述的技巧，得到

\left(2x\right)^x=\mathrm e^{\ln\left(2x\right)^x}=\mathrm e^{x\ln 2x}.

求出

f

的導數

f

當

a=0

時，解方程

f

得

x=1/\left(2\mathrm e\right).

進一步得到

\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&\left(0,1/\left(2\mathrm e\right)\right)&1/\left(2\mathrm e\right)&\left(1/\left(2\mathrm e\right),+\infty\right)\\ \hline f

於是

f

的最小值

f\left(1/\left(2\mathrm e\right)\right)=\left(1/\mathrm e\right)^{1/\left(2\mathrm e\right)}.

第二問的意義在於，曲線

y=\left(2x\right)^x

的影象如下

冪指函式及其在邊緣處的性質 (2021 年楊樹森高中數學試題 (3) (6))

此曲線在

x\in\left(0,+\infty\right)

的範圍內是平滑的，畢竟函式

x\mapsto\left(2x\right)^x

可導。

當

x\to 0

時，似乎成立

\left(2x\right)^x\to 1.

因此可以為曲線補充點

\left(0,1\right),

則曲線在

\left(0,1\right)

處是否有切線？如果有，切線的方向如何？影象似乎表明有斜率小於零的切線。

若曲線在

\left(0,1\right)

處有斜率存在的切線，則根據影象顯示的單調性和凹凸性，當

a

充分大時，函式

f

單調遞增。若此曲線在

\left(0,1\right)

處沒有切線或切線斜率不存在，則這樣的

a

不存在。

為了解決這個問題，我們考慮對於任意

a\in\mathbb R,

是否存在充分小的

x,

使得

f

利用第一問的結論，對於任意

x\in\left(0,+\infty\right),

成立

\left(2x\right)^x\ge\left(\frac1{2\mathrm e}\right)^{\frac 1{\mathrm e}}>\sqrt{\frac{1}{\mathrm e^2}}=\frac{1}{\mathrm e}.

於是當

1+\ln 2x<0,

即

x<1/\left(2\mathrm e\right)

時

f

另一方面，當

x<1/\left(2\mathrm e^{1+\mathrm ea}\right)

時

a+\frac{1+\ln 2x}{\mathrm e}<a+\frac{1-\left(1+\mathrm ea\right)}{\mathrm e}=0.

結合以上兩方面，當

x<\min\left\{1/\left(2\mathrm e\right),1/\left(2\mathrm e^{1+\mathrm ea}\right)\right\}

時

f

即

f

在

\left(0,\min\left\{1/\left(2\mathrm e\right),1/\left(2\mathrm e^{1+\mathrm ea}\right)\right\}\right)

上單調遞減。

於是不存在

a\in\mathbb R,

使得

f

單調遞增。

事實上，利用進一步的理論可以求出

\begin{align}\lim_{x\to 0^+}\left(2x\right)^x&=\lim_{x\to 0^+}\mathrm e^{\frac{\ln 2x}{\frac1x}}=\lim_{x\to 0^+}\mathrm e^{\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}}\\&=\lim_{x\to 0^+}\mathrm e^{-x}=1,\end{align}

說明確實可以為曲線

y=\left(2x\right)^x

補充點

\left(0,1\right).

進一步地，得到

\lim_{x\to 0^+}\left(2x\right)^x\left(1+\ln 2x\right)=-\infty,

說明補充了點

\left(0,1\right)

的曲線

y=\left(2x\right)^x

在

\left(0,1\right)

處有豎直方向的切線

x=0.

對比原先根據影象的推測，認識到影象可以幫助解決問題，但是也容易引起錯誤。