（1）

有限覆蓋定理：

設

F=\{E_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}

是閉區間

[a,b]

的任一（無限）開覆蓋，則從

F

中可以選出有限個開區間覆蓋

[a,b]

。

（2）

(上)確界原理：

有上界的非空數集必有上確界。

（1）

\Rightarrow

（2）

設 A 為非空有上界集合。不妨設 A中沒有最大元，否則最大元就是上確界。

反證法！

假設 A 的上確界不存在，也就是沒有最小的上界。

選取

a\in A, b

為 A 的一個上界。 按下述方法來構造

[a,b]

的一個開覆蓋：

\forall x \in [a,b], E_x =(x-\delta, x+\delta)

的選取如下

x\in A

。 由於 A 中無最大元，故必存在

x^\prime \in A,

使得

x<x^\prime

，此時取

\delta=x^\prime-x

；

x\notin A

， 且

x

不是 A的上界。 此時同樣存在

x^\prime \in A,

使得

x<x^\prime

，此時取

\delta=x^\prime-x

；

x\notin A

， 且

x

是 A的上界。 由於沒有最小的上界，可以選取

\delta

，使得

E_x=(x-\delta,x+\delta)

中的元素都是 A的上界。

這樣我們有

[a,b]\subset\bigcup_{x\in [a,b]} E_x

， 其中

E_x

分為兩類：第一類開區間中的點都不是上界，第二類開區間中的點都是 A 的上界。利用有限覆蓋定理，必存在

[a,b]

的有限子覆蓋

\{E_1,E_2,\cdots,E_N\}

。 端點 b 所在的開區間屬於第二類（即開區間的點都是 A的上界），與之相鄰的開區間有非空交集，因此也是第二類的，經過有限次銜接，可知 端點

a

所在的開區間也是第二類。矛盾！

（2）

\Rightarrow

（1）

令

A= \{x | a<x\le b, [a,x] 能被F=\{E_\lambda\} 中有限個開區間覆蓋\}

。

A

非空有上界

有上確界原理，可知 存在

\xi=\sup A \le b

。

只須說明

\xi =b

。 如果

\xi<b

，則由於

\xi \in [a,b]\subset \bigcup E_\lambda

， 從而有

\exists \lambda_0, \xi \in E_{\lambda_0}

。 於是有

\exists \delta_0> 0, (\xi-\delta_0,\xi+\delta_0)\subset E_{\lambda_0}

， 可推出 與

\xi

為上確界 矛盾！