在BiLIBiLi的科技區有一個這樣的影片，影片的UP主證明當自變數x趨向於0時，

f(x)=\sin{x}

和

g(x)=x

是等價無窮小，UP主構造了一個這樣的函式

u(x)=\frac{\sin{x}}{x}

（辛格函式） ，借用洛必達法則上下求導，取極限可以得到函式

\lim_{x \rightarrow 0}{u(x)}=1

。乍一眼看過去好像證明並沒有什麼漏洞。

但是看著看著就感覺有地方不對勁。

\sin{x}

的導數是怎麼求出來的？

一個特殊函式的極限

（⊙﹏⊙）！ 導數的定義是什麼？

讓函式

f(x)

自變數

x

在

x_{0}

變化產生一個增量

\varepsilon

，函式輸出值的增量

f(x_{0}+\varepsilon)-f(x_{0})

與自變數增量

\varepsilon

的比值在

\varepsilon

趨於0時的極限

a=\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}}

如果存在，那麼a就是

x_{0}

處的

f(x_{0})

導數，

好了導數的意義講完了，現在要求正弦函式

f(x)=\sin{x}

的導數了。

我們讓正弦函式的自變數x產生一個微小的增量

\varepsilon

。那麼正弦函式

f(x)

的增量就是

\sin(x_{0}+\varepsilon)-\sin(x_{0})

，變數就是

\varepsilon

。那麼

f(x)

的導數就是

{\sin{(x_{0})}}^{

透過和差化積公式

\sin{a}-\sin{b}=2{\sin{\frac{a+b}{2}}}\cdot{\cos{\frac{a-b}{2}}}

我們可以得到函式f（x）的增量可以寫成

\sin(x_{0}+\varepsilon)-sin(x_{0})=2\sin{\frac{x_{0}+\varepsilon+x_{0}}{2}}\cdot{\cos{\frac{x+\varepsilon-x_{0}}{2}}}

把轉換的增量帶入

{\sin{(x_{0})}}^{

中可以得到

f^{

做到這一步的時候就看出端倪出來了。用洛必達法則求極限。沒問題啊！

構造的函式

u(x)

是標準的

0/0

型。而且

f(x)

和

g(x)

在

a

點的去心鄰域可導。

當

x_{0}=0

的時候

f{

如果我們不知道

f{

，那麼

\lim_{x \rightarrow 0}{u(x)}=1

，換一句話說，up主在推導過程中犯了迴圈論證的錯誤

最早看到這個現象，是作者高中的時候在甘志國的習題冊上看到的，甘志國沒有給出具體的證明，只是說利用洛必達求辛格函式極限存在邏輯問題，後來作者在同濟大學的高等數學極限一章中找到了答案（黃皮的高等數學，好像是這一章，畢業好久了。）。

比較嚴謹的求證方法是用扇形面積來解釋弧度 在自變數x非常小的時候，x的單位為弧度

存在

\sin{x}<x<\tan{x}

一個特殊函式的極限

如果按照弧度來計算

弦長BC<弧長AB<切線長AD

所以就有

1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}

又因為

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1}{cosx}}=1

所以由兩邊夾定理可以得到

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x}{\sin{x}}}=1