關於角動量算符們

這是一個Mathematica程式碼備忘錄，量子力學基礎略過

；

DiagonalMatrix

［

Reverse

［

Table

［

，

{

，

}］］］；

Data

Table

［

Sqrt

［

（

）

Abs

［

］］，

{

，

}］；

Mat

DiagonalMatrix

［

Delete

［

Data

，

FirstPosition

［

Data

，

Max

［

Data

］］］］；

Reverse

［

Map

［

Append

［

，

］

，

Append

［

Reverse

［

Mat

］，

Table

［

，

{

，

}］］］］；

Transpose

［

］；

（

）

；

（

）

（

）；

MatrixForm

為角量子數，

$\hbar$

為約化普朗克常數

$l=\frac{1}{2}$

時，

即電子自旋角動量算符

$J_{x(\frac{1}{2})}=\hbar \left( \begin{array}{cc} 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{y(\frac{1}{2})}=\hbar\left( \begin{array}{cc} 0 & -0.5 i \\ 0.5 i & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{z(\frac{1}{2})}=\hbar\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0\\ 0 & -0.5 \\ \end{array} \right)$

時，即各種教材上熟知的：

$J_{x(1)}=\hbar\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{y(1)}=\hbar\left( \begin{array}{ccc} 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{z(1)}=\hbar\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)$

以此類推，

時：

$J_{x(2)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{y(2)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccc} 0 & -i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & -i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & i & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{z(2)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right)$

時：

$J_{x(3)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{y(3)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & -i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \sqrt{3} & 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \sqrt{3} & 0 & -i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & -i \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{z(3)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccc} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ \end{array} \right)$

時：（在知乎Markdown公式編輯器的效能邊緣試探）

$J_{x(5)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccccccc} 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{6} & 0 & \sqrt{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{7} & 0 & \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & \sqrt{7} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{7} & 0 & \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{6} & 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{y(5)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccccccc} 0 & -i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 & -\frac{3 i}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3 i}{\sqrt{2}} & 0 & -i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \sqrt{6} & 0 & -i \sqrt{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \sqrt{7} & 0 & -i \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & -i \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{\frac{15}{2}} & 0 & -i \sqrt{7} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{7} & 0 & -i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{6} & 0 & -\frac{3 i}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3 i}{\sqrt{2}} & 0 & -i \sqrt{\frac{5}{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{\frac{5}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

$J_{z(5)}=\hbar\left( \begin{array}{ccccccccccc} 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \\ \end{array} \right)$