在高中，我們在課本上只學到了複數加減乘除的基本運算。在高考，複數往往也只是簡單的送分題。然而，複數是數系的擴充，它有著更大的用處。

型如z=a+bi ， （a，b∈R）的數叫做複數。a，b分別叫做複數z的實部和虛部，記做a=Rez，b=Imz，當b≠0是，z為虛數，若同時a=0，則此複數稱為純虛數。複數的全體組成的集合叫做複數集，記做C。

注：在複平面上，原點不是虛軸（y軸）上的點，而是實軸（x軸）上的點。

為了後面方便，我們直接說一下“棣莫弗定理”

在複平面上，座標為（a，b）的點對應一個複數a+bi

以橫軸正半軸為始軸，以在複平面表示z的向量為終邊的角的弧度數θ稱為z的輻角，記做Arg（z）=θ，θ∈R。與三角函式的規定差不多，任意一個複數z≠0有無窮多個輻角，但是在區間［–π，π］內的只有一個，這個輻角就是該向量的輻角主值，也稱主輻角，記為arg（z），所以Arg（z）=arg（z）+2kπ ，k為整數。

下面的兩個式子中z1，z2都是複數

z1×z2表示的複數的模長為|z1|×|z2|，即模長相乘，輻角為z1與z2兩個角相加。

舉個栗子：（1+i）×（-1+i）=-2 它表示√2與√2兩個模長相乘，輻角45º+135º=180º 剛好是-2

z1/z2表示兩個複數模長相除|z1|/|z2|，輻角相減。

舉個栗子：（1+i）/（1-i）=i 表示模長為√2/√2=1，輻角為45º-（-45º）=90º，即i 以上即棣莫弗定理的解釋。既然實數也屬於複數，那麼實數除以複數自然也遵循上述定理，比如下圖就很好理解了。

1本身也可表示膜長|1|，|1|/|z|表示1與z，兩複數模長相除，|1/z|表示幅角相減模長相除後的複數的模長，那麼二者意思相同，所以相等。

＊

尤拉公式

的介紹（來自 @馬同學 ）大佬介紹的非常詳細了，文末有大佬對尤拉公式的推導，我就不畫蛇添足了。大家看後會對之前提到了棣莫弗定理有更好的理解並能夠自己獨立證明。

把複數看成向量，對於模長也有像絕對值不等式那樣的式子（兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊）

我們舉個栗子：

很明顯，我們要求|z|的取值範圍，那麼上面的不等式正好可以用上。

為了下一道題方便解決，我們可以瞭解一下多項式因式分解的方法。詳見本人下面連結裡這篇文章，基本足夠解決問題了。

https：//

zhuanlan。zhihu。com/p/16

9519012

例2。已知|z|=1，w=z³–3z–2，求|w|的範圍。

從本題我們可以發現，等號兩邊取模長是一個很好的方法，以後會經常用到。我們可以理解為左右兩個式子都分別表示一個複數，既然用等號連線，那表示左右兩式表示相同的複數，那二者模長自然相等。可以類比為函式的等號左右兩邊分別求導。

例3

複數的兩條關於共軛複數的重要性質：

具體應用詳見幾道例題

注：例7求上限時還可用複數的模長不等式

關於模長的另外兩個性質如下，其實到此為止我提到的很多性質透過棣莫弗定理是很好理解的，並不需要非得設z=a+bi證明。

第二問用到了兩個方法，第二個是常規運算，為第三問服務。而第一個則是利用了共軛複數的性質，對複數z進行整體運用。一個複數與其共軛複數相加為0，且這個複數虛部不為0，則表示這個複數是純虛數。

共軛複數的另一個性質如下

詳見例9（圖裡標錯了）

當然本題也可以直接設a+bi，直接代入運算，往往更簡單。不過我想展示一下共軛複數的好處所以這麼寫。透過方程兩邊取共軛，構造方程組，這是“整體”的分析方法。

下面給出一條模長的性質，就是前面共軛複數的運用

證明過程就從略了，基本上就是一些礙事的量被消掉了。

這也就是我們在高中非常常見的阿波羅尼斯圓。

關於共軛複數，我們再給出一例

7月21日更新：

複數還可以用來證明平面幾何問題，剛才在知乎上看到這麼一道題，我們用複數證明一下。

如下圖，已知等腰直角三角形ACD，AD⊥CD，AC=AE，DE=DF，求證:AF=EK.

這個幾何題咋做？ - Songby的回答 - 知乎

https：//www。

zhihu。com/question/3761

77500/answer/2010486714

解答即在上述連結中，是我的一個回答。