上一節我們講了很多不同型別的集合的定義，比如

開集，閉集，開球（鄰域），矩體

之類的。這一節我們接著有限覆蓋原理講新的內容。

1。 緊集：

在上一講中，我們提到了

有限覆蓋原理

：

\mathbb{R}^n

中的有限閉集的任一開覆蓋均含有一個有限開覆蓋。

證明：設

F

是

\mathbb{R}^n

中的有界閉集。

\Gamma

是

F

的開覆蓋。假定

\Gamma=\{G_1,G_2,\cdots ,G_i,\cdots\}\\

令

H_{k}=\bigcup_{i=1}^{k} G_{i}, \quad L_{k}=F \cap H_{k}^{c} \quad(k=1,2, \cdots)

，

有

H_k

是開集，

L_k

是閉集且

L_k\supset L_{k+1}

，如果一切

L_k

均為非空集，由

Cantor閉區間套

定理知：

\exists x_0\in L_k(k=1,2,\cdots)

，這個點

x_0

不屬於

\forall H_k

，矛盾。

所以

\exists k_0\Rightarrow L_{k_0}=\varnothing

，則取

\Gamma

即可。

q。e。d

還有另外一個相似的定理：

定理：設

E\subset \mathbb{R}^n

，若

E

的任一開覆蓋都包含有限子覆蓋，則

E

是有界閉集。

證明：設

y\in E^c

，則對於每一個

x\in E

，存在

\delta_x>0

，使得

B\left(x, \delta_{x}\right) \cap B\left(y, \delta_{x}\right)=\varnothing\\

假設有限覆蓋為

B\left(x_1, \delta_{x_1}\right),\cdots,B\left(x_m, \delta_{x_m}\right)

。

可知

E

是

有界集

。現在再令

\delta_0 =\min\{\delta_{x_1},\cdots,\delta_{x_m}\}

，則

B\left(y, \delta_{0}\right) \cap E=\varnothing

，即

y\bar{\in}E

。說明

E

，

E

是閉集。 q。e。d

如果

E

的任一開覆蓋均包含有限子覆蓋，我們就稱

E

為

緊集

，上述兩個定理表明

,\mathbb{R}^n

中的緊集就是有界閉集。

2。 連續

注：這部分內容跟

數學分析

裡的內容重合，略過。

略過的內容1：函式在點上的連續，函式在集合上的連續（即集合中的所有點都連續稱函式在此集合上連續），我們把在集合上的全體連續函式記為

C(E)

。

連續函式

f,(f\in C(F))

在有界閉集

F

的性質：

\\ \exists x_0\in F,y_0\in F,\Rightarrow f\left(x_{0}\right)=\sup \{f(x) ; x \in F\}, \quad f\left(y_{0}\right)=\inf \{f(x) ; x \in F\}\\

f

在

F

上是

一致連續

的：

\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x

略過的內容2：數列的

上極限，下極限。導數，可微性。

從下面開始進入重難點內容，內容稍微有點晦澀：

3。 Borel集

除了開集和閉集，在

\mathbb{R}^n

中還有各種各樣不同的集合，比如Borel集。

#FormatImgID_42# 代數

定義： 設

\Gamma

為集合

X

中一些子集所構成的

集合族

且滿足下述條件：

(i) \quad\quad\varnothing \in \Gamma\quad\quad\quad\quad\quad\\ (ii) if \quad A \in \Gamma,\quad then \quad A^{c} \in \Gamma\\ (iii) if A_{n} \in \Gamma(n=1,2, \cdots),then \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \Gamma

我們稱

\Gamma

為一個

\sigma-

代數

。

生成 #FormatImgID_48#代數

定義：設

\Sigma

是集合

X

中一些子集所構成的集合族，記包含

\Sigma

的最小

\sigma-

代數為

\Gamma

，稱為

\Gamma(\Sigma)

，我們稱

\Gamma(\Sigma)

為由

\Sigma

生成的

\sigma-

代數。

筆者注：想要了解更多有關

\sigma-

代數

的內容，請閱讀《

機率論》

等有關著作。畢竟，

機率空間

就是定義在

\sigma-

代數上的。

F_\sigma,G_\delta

集：

定義：若

E\subset\mathbb{R}^n

是

可數個閉集的並集

，則稱

E

為

F_\sigma

集。

若為

可數個開集的交集

，則稱

E

為

G_\delta

集。

筆者注：請讀者認真思考上面兩個概念。比如

所有閉集均是

G_\delta

集

。

所有開集均是

F_\sigma

集

。

Borel集定義

：由

\mathbb{R}^n

中的一切

開集族

所生成的

\sigma-

代數稱之為

Borel #FormatImgID_70# 代數

，記為

\mathscr{B}

屬於#FormatImgID_72# 中的元素稱之為Borel集。

筆者注：Borel集的範圍是非常大的，比如

\mathbb{R}^n

中的

一切開集，閉集，#FormatImgID_74# 集

都是Borel集。

當然，Borel集的

補集

是Borel集；Borel集合列的

並、交、上(下)限集

皆為Borel集。

例題：

我們定義

F_{\sigma\delta}

為可數個

F_\sigma

集的交集。

筆者注：請讀者注意

F_{\sigma\delta}

的定義與

集合列的上下極限

之間的關係。

請證明：若 #FormatImgID_78# 是 #FormatImgID_79# 上的連續函式，則 #FormatImgID_80# 的可微點集是#FormatImgID_81#集。（重要結論！）

證明：

我們證明

f

的不可微點集為

可列個 #FormatImgID_83# 的並集

。

引入上下導數的概念，則不可微導數的集合為

A\cup B\cup C

：

\begin{aligned} &A=\left\{a, \varliminf _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}\\ &B=\left\{a, \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\infty\right\}\\ &C=\left\{a, \varliminf_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty\right\} \end{aligned}

現在令

\mathbb{Q}

為有理數集，則：

A=\bigcup_{r, R \in \mathbb{Q}}\left\{a: \varliminf _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant r<R \leqslant \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}

\begin{array}{l} \begin{aligned} =& \bigcup_{r, R \in \mathbb{Q},R>r}\left(\left\{a, \varliminf_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant r\right\}\right. \bigcap \left.\left\{a, \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geqslant R\right\}\right) \\ B &=\bigcap_{r \in \mathbb{Q}}\left\{a, \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geqslant r\right\} \\ C &=\bigcap_{r \in \mathbb{Q}}\left\{a, \varliminf_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant r\right\} \end{aligned} \end{array}

我們只需要證明：對於

\forall t\in \mathbb{R}

，點集：

\left\{a, \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geqslant t\right\}

和

\left\{a, \varliminf_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq t\right\}

是

G_\delta

集即可。由對稱性我們只證明前一個。

對於所有自然數

n,k,

構造集合：

\\ G_{n,k}=\left\{a:\exists x滿足 0<|x-a|<\frac{1}{n},使得\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>t-\frac{1}{k}\right\}

由於

f

連續，所以

G_{n,k}

是開集，且

\bigcap_{n, k=1}^{\infty} G_{n, k}=\left\{a, \varlimsup_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geqslant t\right\}

。

q。e。d

Baire定理：設

E=\bigcup_{k=0}^{\infty}F_k

為

F_\sigma

集，若每個

F_k

皆無內點，則

E

也無內點。

更多內容包括證明請看：

稠密集：

E

被稱為稠密集當

E\subset \mathbb R^n

時，

\bar E= \mathbb R^n

。

無處稠密集：

如果

A

的

閉包的內集是空集

。

筆者注：這裡其實非常容易理解，

無處稠密集

又稱

疏朗集

，就是看起來很零散的點組成的集合，比如

\mathbb {Z,N}

之類的集合。而稠密集就是看起來就在空間當中填充的很滿的那種集合，比如

\mathbb{R,Q}

之類的。

第一綱集

：

可數個無處稠密集的並集

稱為第一綱集或者

貧集

。

第二綱集

：不是第一綱集的就是第二綱集。

定理：有理數集

\mathbb{Q}

不是

G_\delta

集。

筆者注：有理數集

\mathbb{Q}

其實是

F_\sigma

集，這是顯然的。

證明：令

\mathbb Q=\{r_k|k=1,2,\cdots\}

，並假定

\mathbb Q=\bigcap_{i=1}^{\infty}G_i

，

G_i

為開集，則：

\mathbb{R}=\left(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) \cup \mathbb{Q}=\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} G_{i}^{c}\right) \cup\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{r_{k}\right\}\right)\\

這裡的每個單點集

\{r_k\}

與

G_i^c

皆為閉集，而且從

\bar{G_i}=\mathbb{R}

可知每個

G_i^c

是無內點的。

這說明

\mathbb{R}

是可列個無內點之閉集的並集。

從而由

Baire定理

可知

\mathbb{R}

也無內點，矛盾！ Q。E。D

4。 康托爾集（Cantor set）

實變函式論筆記之 3. 集合論（3）

Cantor set

我們將

[0,1]

三等分，去掉中間的部分，再將剩下完整的兩部分三等分，去掉中間的

\frac{1}{3}

，也就是說我們將

[0,1]

進行

3^n

等分，每3份組成1大份，這時候有

3^{n-1}

大份，每1大份只要左右兩個小份，中間不要。用數學語言描述，就是取集合

F_n

：

F_n=\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\\

則，Cantor集被定義為

{\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }F_n

；也即：

{\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\\

性質：

\mathcal {C}

是非空有界

閉集

。

\mathcal {C}=\mathcal {C}

，為完全集（perfect set）

\mathcal {C}

無內點。

\mathcal {C}

為連續統基。

證明：將

[0,1]

的實數按照三進位制展開，則Cantor集當中的點

x

與下面三進位制小數集一一對應：

x=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{a_i}{3^i}},a_i=0,2\\

q。e。d

5。

\mathcal {C}

為疏朗集。由於

\mathcal {C}

是完全集，所以

\mathcal {C}

的閉包就是

\mathcal {C}

，而

\mathcal {C}

明顯沒有內點，所以

\mathcal {C}

為疏朗集。

6。 點集的距離

點到點集的距離：設

x\in\mathbb{R}^n,E\subset\mathbb{R}^n

，稱：

d(x,E)=\inf\{|x-y|:y\in E\}\\

稱為

x

到

E

的距離。

點集到點集的距離：設

E_1\subset\mathbb{R}^n,E_2\subset\mathbb{R}^n

，稱：

d(E_1,E_2)=\inf\{|x-y|:x\in E_1\,x\in E_2\}\\

為

E_1

到

E_2

的距離。

後記：

下一節就開始正式的

令人激動的Lebesgue測度論

了，它所需的前置集合論知識終於搞定了。

請讀者一定要理解這一節裡面的概念，這樣才能夠看明白下一章的內容。