偏微分方程的基礎知識

1.基本概念：

（1）設

$\Omega$

是

$R^{n}$

中的一個開區域，點

$x=(x_{1},…,x_{n}) \in \Omega.$

設函式

$u=u(x)：\Omega\rightarrow R.$

則

$D^{k}u=\frac{\partial^{k}u}{\partial x_{i_{1}}…\partial x_{i_{k}}},(i_{1},…,i_{k})$

是集合{1，2，…，n}中k個可重複的任意數。記

$D_{k}u$

的

長度

$|D_{k}u|=(\sum_{i_{1}=1}^{n}\sum_{i_{2}=1}^{n}…\sum_{i_{k}=1}^{n}|\frac{\partial^{k}u}{\partial x_{i_{1}}…\partial x_{i_{k}}}|^2)^\frac{1}{2}$

。

特別地，k=1時，u的

梯度

為：

$Du=(\frac{\partial u}{\partial x_{i_{1}}},\frac{\partial u}{\partial x_{i_{2}}},…,\frac{\partial u}{\partial x_{i_{n}}}).$

設

$F=(F_{1},F_{2},…,F_{n})：\Omega\rightarrow R^{n}$

是一個向量函式，記

的

散度

為

$div F=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F_{i}}{\partial x _{i}}.$

故

$\Delta u$

是

梯度的散度，即

$\Delta u=div(Du).$

（2）

*泛函定義

：

$C(\Omega)$

表示在

$\Omega$

上連續函式構成的線性空間，對

$\forall u \in C(\Omega),$

其

模

為

$||u||_{C(\Omega)}=sup\left\{{{{|u(x)|,x\in \Omega}}}\right\}.$

$C^{k}(\Omega)$

表示

$\Omega$

上k次連續可微的函式構成的線性空間，對

$\forall u \in C^{k}(\Omega),$

其

模

為：

$||u||_{C^{k}(\Omega)}=sup\left\{{{{|u(x)|,x\in \Omega}}}\right\}+\sum_{|\alpha|=1}^{k}sup\left\{{{{|D^{\alpha}u(x)|,x\in \Omega}}}\right\}.$

（3）對於函式

$u \in C(\Omega),$

定義u的

支集

為所有滿足

$u(x)\ne 0$

的點集在

$\Omega$

上的閉包，記為

$supp\ u/spt\ u= \left\{{x\in \Omega\ |\ u(x)\ne 0} \right\}的閉包.$

其中，

$C_{0}^{k}(\Omega)$

表示

$C^{k}(\Omega)$

中具有

緊支集

［1］

的函式類。

（4）對於k階偏微分方程

$F[D^{k}u(x),…,Du(x),u(x),x]=0,\ \ \ \ (1.1)$

若方程（1。1）可表示成

$\sum_{|\alpha|\leq k}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha}u}=f(x),$

稱方程（1。1）為

線性

偏微分方程；

若方程（1。1）可表示成

$\sum_{|\alpha|= k}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha}u}=f[D^{k-1}u(x),…,Du(x),u(x),x],$

稱方程（1。1）為

半線性

偏微分方程；

若方程（1。1）可表示成

$\sum_{|\alpha|= k}{a_{\alpha }[D^{k-1}u(x),…,Du(x),u(x),x]D^{\alpha}u}=f[D^{k-1}u(x),…,Du(x),u(x),x],$

稱方程（1。1）為

擬線性

偏微分方程，（

$a_{\alpha}$

和

是給定的函式）；

如果方程（1。1）非線性依賴

$D^{k}u$

，則稱方程（1。1）為

完全非線性

偏微分方程。

2.一些著名的偏微分方程：

（1）

線性

（Linear）偏微分方程：

①輸運方程：

$u_{t}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0,(b_{i}=const,i=1,2,…,n)$

；

②Laplace方程：

$\Delta u=\sum_{i=1}^{n}{u_{{x}_{i}x_{j}}}=0$

；

③熱方程：

$u_{t}-a^2\Delta u=0 ,(a=const>0)$

；

④wave方程：

$u_{tt}-a^2\Delta u=0,(a=const>0)$

；

⑤Fokker-Planck方程：

$u_{t}-\sum_{i,j=1}^{n}{(a_{ij}u)_{x_{i}x_{j}}}+\sum_{i=1}^{n}(b_{i}u)_{x_{i}}=0,(a_{ij},b_{i}=const)$

。

（2）

半線性

（Semilinear）偏微分方程：

Yamabe方程

$(n\geq 3)$

，

$-\Delta u=\frac{n(n-2)}{4}u^{\frac{n+2}{n-2}},u>0$

；

（3）

擬線性

（Quasilinear）偏微分方程：

極小曲面方程：

$\Delta u-\sum_{i,j=1}^{n}\frac{u_{i}u_{j}u_{ij}}{1+|\nabla u|^2}=0$

；

（4）

非線性

（Nonlinear）偏微分方程：

（目前偏微分方程研究比較熱門的就是有\無粘不可壓流體問題）

無粘不可壓流體 Euler方程

：

$u_{t}+u\nabla u=-\nabla p;\\div \ u=0.$

有粘不可壓流體 Navier-Stokes方程

：

$u_{t}+u\nabla u-v\Delta u=-\nabla p\ ;\\\ div\ u=0\ .\ v>0為正常數.$

（5）

完全非線性

（Fullynonliear）偏微分方程：

時的Monge-Ampere方程（

$det\ u_{ij}=f$

），

$u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2=f$

。

3. Guass-Green公式

Green公式：

設

$\Omega\subseteq R^2$

為有界區域，

$\partial\Omega\in C^{$

，

$P,Q\in C^{$

$\int_{\partial\Omega}Pdx+Qdy=\int_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy.$

Guass公式：

設

$\Omega\subseteq R^3$

為有界區域，

$\partial\Omega\in C^{$

，

$P,Q,R\in C^{$

$\int_{\partial\Omega}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int_{\partial\Omega}(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)ds\\\ \ \ \ =\int_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz\ .$

其中

$(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)為\partial\Omega的單位外法向量.$

n=2時，

$圓上一點單位外法向量n=(cos\alpha,sin\alpha),單位切向量\tau=(-sin\alpha,cos\alpha)\\\int_{\partial\Omega}F\cdot ndS=\int_{\partial\Omega}(f_{1}cos\alpha+f_{2}sin\alpha)dl\\=\int_{\partial\Omega}f_{1}dy-f_{2}dx\\=\int_{\Omega}(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y})dxdy\\=\int_{\Omega}div\ F\ dV$