使用者51500735326662019-09-16 21:29:23

一般地，我們有 。

為什麼？因為不等式左邊可以在複數域上因式分解：

加一起得到：

，

是共軛複數的乘積，大於等於 。不等式取等號當且僅當 和 都等於 。

這兩個方程分別對應（復射影平面上的）一個二次曲線，一般來說有四個公共點。為了進一步確定取等條件，我們作換元 ，，。利用等式

，，

，，

我們得到：

和 。

設 ，我們有 和 。

（， 時，。取等條件 或 ，即 或 。）

若 ，則 。此時 。

若 ，則 。此時 ，。由此可得。

題目中的不等式即 ， 的情形。此時可取 ，。雖然看起來形式差距較大，但是我們有 ， 和 。這可由比較等式兩邊分別滿足的三次方程獲得證明（還需驗證次序）。

最後說一下， 形式的取等條件並不是那麼的“反常”。常見的取等條件 和 可看作其特例。反過來任何一組 也可以用這個方法求出對應的四次不等式。