代數幾何中的點集拓撲(1): 清醒性與譜空間
內容提要:
1 擬緊性; 2 清醒性; 3 譜空間; 本文主要參考文獻.
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注
: 本文所涉及的環皆為
交換么環.
1 擬緊性
1-1. [擬緊性]
為拓撲空間。 我們稱
擬緊如果每個開覆蓋有有限子覆蓋。
1-2. [擬緊射]
我們稱連續對映
為擬緊射, 如果每個
的擬緊開子集的原像為擬緊的。
1-3. [擬分離性]
我們稱
為
擬分離
的, 如果對角嵌入
為擬緊射。 這意味著對所有的
的擬緊開子集
和
, 我們有
擬緊。
1-4. [例子]
為環。 那麼
的開子集
為擬緊的當且僅當存在
的有限生成理想
使得
1-5. [擬緊性驗證]
如果
有一個
擬緊開
的拓撲基, 那麼為了驗證連續對映
擬緊, 只需對這個拓撲基中的每個
驗證
為擬緊的。
1-6.
如果
有一個擬緊開的拓撲基
, 且如果
則
, 那麼
擬分離。
2 清醒性
2-1. [不可約空間]
我們稱
不可約
如果每當
, 其中
為閉子集, 則有
或者
[小事實]
不可約拓撲空間的開子集都是稠密的。
[證明]
如果
是開的,
閉, 而
。 由此得出結論。
[小事實]
不可約拓撲空間的開子集都是不可約的。
[證明]
如果
不可約,
是開子集, 反證假設
可約, 那麼
, 其中
,
是
的兩個閉子集。 取閉包得到
。 由此得證。
2-2. [閉點]
我們稱
為
閉點
如果
為閉集。
2-3. [廣點]
我們稱
為一般點或者
廣點
如果
2-4. [
, 擬清醒, 清醒]
為拓撲空間。
(1) 我們稱
為
#FormatImgID_49# 空間
, 如果
是
到不可約閉子集的單射。
(2) 我們稱
為
擬清醒(quasi sober)空間,
如果
是
到不可約閉子集的滿射。
(3) 我們稱
為
清醒(sober)空間,
如果
是
到不可約閉子集的雙射。
2-5. [清醒性與開覆蓋]
是
的開覆蓋。 那麼
(1) 如果每個
是擬清醒的, 那麼
是擬清醒的。
(2) 如果每個
是
的, 那麼
是
的。
(3) 如果每個
是清醒的, 那麼
是清醒的。
[證明]
如果每個
是擬清醒的。 如果
是
的不可約閉子集。 於是存在某個
使得
。
因為
是
的開子集。 於是
是
的非空開子集, 於是
是
的不可約子集, 並且在
中稠密。
由此也有
是
的非空不可約閉子集,
由於
是擬清醒的, 所以存在
使得
又由於
在
中稠密。 而
又在
中閉。 所以
因此
, 這說明了
是擬清醒的。
(2) 這是顯然的。
(3) 這是(1)和(2)的推論。
2-6. [特殊化與一般化]
對於
我們稱
為
的
特殊化
(specialization) 或者
為
的
一般化
(generization) 如果
3 譜空間
3-1. [譜空間]
我們稱
為
譜空間(spectral space)
如果它滿足以下所有條件:
(a)
擬緊擬分離;
(b)
有一個擬緊開的拓撲基;
(c)
為清醒空間。
3-2. [區域性譜空間]
我們稱
為
區域性譜空間
如果它有由譜空間構成的開覆蓋。
3-3.
以下結論是容易而重要的:
(1) 區域性譜空間是清醒的。
(2) 區域性譜空間是譜空間當且僅當它是擬緊擬分離的。
(3) 如果
為清醒空間,那麼它的每一個區域性閉子集是清醒的。
(4) 如果
為譜空間,那麼它的每一個擬緊開子空間是譜空間。
(5) 如果
為譜空間,那麼它的每一個閉子空間是譜空間。
(6) 如果
為區域性譜空間,那麼它的每一個開子空間是區域性譜空間。
(7) 如果
為區域性譜空間,那麼它有由開的譜空間構成的拓撲基。
本文主要參考文獻