微分方程第十節*常係數線性微分方程組解法舉例
顧z 發表于 娛樂2021-02-08
*10。 常係數線性微分方程組解法舉例
10。1 簡單介紹
前面我們研究的是由一個微分方程求解一個未知函式,但是在實際問題中,我們會遇到含幾個函式的微分方程,它們
具有同一個自變數
。將這些微分方程聯立起來,得到的方程組被稱為
若微分方程組中的每一個微分方程都是常係數線性微分方程,那麼這個微分方程組就叫做
為了求解這個方程組中每一個未知函式,我們可以按照下面的步驟進行求解:
從方程組中消去一些未知函式及其各階導數,得到只含有一個未知函式的高階常係數線性微分方程。
解此高階微分方程,求出滿足此方程的未知函式。
將已求得的函式代入原方程組,一般來說,不必經過積分就可以求出其餘的未知函式。
——-此部分出自《高等數學》同濟版
10。2 例題
此處僅給出課本上的例題1。
解微分方程組
我們按照上面的步驟來進行求解:
容易由式
得到
,則求導得
代入這兩個式子到式
,化簡得到
這是一個常係數線性微分方程,寫出它的特徵方程為
容易求出
,則此方程的通解為
反代
,可以求出
將這兩個式子寫成這樣:
就得到所給方程組的通解。
注:在討論常係數線性微分方程(或方程組)時,常採用記號
來表示對自變數
求導的運算