抽象代數重點解析——域(下)
3。3 域的代數擴張
上一節我們研究了新增代數元的域擴張,本節我們研究新增多個代數元的域擴張。
定義3。3。1:若
是
的擴域,若
的所有元都是
上的代數元,則稱
是
的代數擴張。
定理3。3。1:
是域
的單擴張,則以下三個條件等價:(1)
是
的代數擴張;(2)
是
上的代數元;(3)
是
的有限擴張。
證:(1)
(2):顯然
,由定義3。3。1,顯然。(2)
(3):由定理3。2。5立即可得。(3)
(1):若
,則
,
一定線性相關,故存在
,滿足
,因此
是代數元,得證。
定理3。3。2:設
為
的有限擴張,
;設
為
的有限擴張,
;則
。
證:我們取
作為
上的線性空間的一組基
,
作為
上的線性空間的一組基
,下證
是
作為
上的線性空間的一組基。首先,
,有
,並且
,都有
,因此
,寫成了線性組合的形式。其次,若
,則
,因
是一組基,彼此線性無關,所以
,都有
,同理可得
,因此線性無關,從而這是一組基,得證。
例3。3。1:設
是
的有限擴張,
是素數,則不存在域
,滿足
,且
。
以下,我們可以利用定理3。3。2將定理3。3。1進行推廣:
定理3。3。3:設
,以下三個條件等價:(1)
是
的代數擴張;(2)
都是
上的代數元;(3)
是
的有限擴張。
證:(1)
(2):顯然
,由定義3。3。1,顯然。(2)
(3):用數學歸納法,由定理3。2。5,
是
的有限擴張,設
,若
是代數元,則有
,由定理3。3。2,
,得證。(3)
(1):若
,則
, 則
,
線性相關,故存在
,滿足
,因此
是代數元,得證。
這樣,下面的結論就顯然了。
定理3。3。4:域
上的代數元的和、差、積、商也是代數元。
證:設代數元
,
是代數擴張,他們的和、差、積、商都屬於
,因此是代數元。
定理3。3。5:若
,其中
的元素都是
上的代數元,則
是
的代數擴張。
證:由定理3。2。2,
(
有限),再由定理3。3。3立即可得。
定理3。3。6:設
是
的代數擴張,
是
的代數擴張,則
是
的代數擴張。
證:反覆運用定理3。3。3即可。
這一節的內容十分簡單,代數擴張的本質就是有限擴張,即多個單代數擴張的總和,下面看幾個例子。
例3。3。2:設
是
的一個實根,證明
。
解:設
,則顯然
,並且
,
,由定理3。3。2,得
,矛盾,故
。
例3。3。3:若
,
,則
。
解:顯然
,另外
,類似可得
,因此
,得證。
例3。3。4:用例3。3。3的結論求
作為
上的線性空間的一組基。
解:因
,並且由
可得
,進而
,由Einstein判別法這是不可約的,因此
,基是
,即
。
例3。3。5:求
作為
上的線性空間的一組基。
解:
,
,下證
是
上的最小多項式,只需證
,如不然,則有
,因此
,若
,則
,若
,則
,均不滿足
。因此根據定理3。3。2,基是
。
3。4 多項式的分裂域
定義3。4。1:設
是
的擴張,
中的
上的代數元全體記作
,稱為
在
上的代數閉包。
定理3。4。1:若
是
的擴張,
是
在
上的代數閉包,則
是包含於
的最大的
的代數擴張,且
中的元素都是
上的超越元。
解:由定理3。3。4,
是域,顯然
;若
是
的代數擴張,則
上元素都是代數元,因而
;設
,若
是
上代數元,則
,有定理3。3。6,
是
上的代數擴張,與前面的結論矛盾。
設
是一個域,一般說來,並非每個
上多項式都能在
中分解成一次因式的乘積,如果能做到,則
的代數閉包就是
,因而沒有代數擴張,此時
稱為一個代數閉域。例如,複數域是代數閉域, 實數域和有理數域不是。本節主要研究包含特定多項式
所有的解的最小域。
定義3。4。2:設
是域
的擴張,
,若滿足:(1)
在域
上可以分解為
;(2)
。則稱
是
在
上的分裂域。
注:(1)意味著
上包含
所有的根。(2)意味著
是最小的。
定理3。4。2:設
是域,多項式
,
,則
在
上的分裂域存在。
證:對
用數學歸納法,當
時,顯然分裂域就是
。設
時結論成立,當
時,設
,且
在
上不可約,令
,由定理3。2。3,
,並且有
和
,於是
,由歸納假設,存在
在
上的分裂域,
,並且在
上有
,得證。
據此,下面兩個結論是顯然的。
定理3。4。3:設
是
在
上的分裂域,
,則
。
證:用數學歸納法,當
時,顯然成立。設
時結論成立,當
時,根據定理3。4。2的證明過程,我們有
,故
,由歸納假設
,得證。
定理3。4。4:設
是
在
上的分裂域,域
滿足
,則
是
在
上的分裂域。
這個結論十分自然,不證。下面還需要研究分裂域的唯一性問題,研究這個問題的過程較為繁瑣,下面直接給出結論。
定理3。4。5:設
是域,存在他們之間的同構
,
,
是
在
上的分裂域,
是
在
上的分裂域,則
與
同構。
例3。4。1:設
,若
有非實根,則
在
上的分裂域是複數域
。
解:設
是一非實數根,
是分裂域,則
,顯然
,
,因而
。
例3。4。2:設
是域,求
在
上的分裂域
。
解:若
可約,則顯然
。若不可約,令
,有
,並且
,於是在
上有
,由韋達定理,令
,有
,並且
,因此
。
例3。4。3:求下列多項式在
上的分裂域:(1)
。(2)
。(3)
。
解:(1)
不可約,且
,因而分裂域是
。(2)
不可約,設
是
的根,由例3。2。5,且
,因而分裂域是
。(3)因
,分裂域
,由例3。3。5的證明方法,我們可以得出
(等價於
),因此分裂域是
。
例3。4。4:
是素數,求
在
上的分裂域。
解:顯然有
,因此
的分裂域就是
的分裂域,若
,顯然分裂域是
,若
,這是不可約多項式,設
是它的根,容易驗證
都是它的根,因而分裂域
,且
。
例3。4。5:求
在
上的分裂域
,並求
。
解:設
是
的一個根,則
,並
,設
是
的根,則
是
的根,容易驗證
也是
的根。於是,分裂域
,下證
,設
,則根據
是
的根求得,
,顯然不滿足條件,因此分裂域
,且
。
例3。4。6:設
是
上的不可約多項式,
為它的一個根,證明
不可能是它的分裂域。
解:記它的分裂域為
,參考例3。4。5的方法,我們可以得出
,但是
,矛盾。