積分級數鑑賞-AMM Problems-12221
某個月黑風高的下午,Yoshinow2001吃飽了撐著打開了AMM上的一個積分題(見Problem12221),他發現他不會做,但是有論文的解答,花了一個晚上終於搞懂了整個過程,寫完這題的他不禁感嘆數學的奇妙(//̀Д/́/),裡面許多方法其實並不陌生,但讓我單獨做還是完全不行。
讀懂做法之後,就也整理了一下整個思路,以及最近在準備(預習)高數競賽,就想著試試在知乎上發點東西,就用之前這篇blog先來試試編輯公式(霧)
Problem 12221
這題是要我們證:
,這裡G是卡特蘭常數
。
(證明來自於Roberto Tauraso)
首先依然是倒代換,令
就會有
接著分別取第一行和第二行的式子,就得到了
不妨記
。
我查閱了一下相關資料,後面那個積分就是
卡特蘭常數
的一個常見的應用:
依然做倒代換:
,
然後是利用
就得到,
這裡其實就是在做湊微分、倒代換以及一個arctan x的泰勒展開式子,就得到了卡特蘭常數相關的一串恆等式:
好了處理完後面這個(還算好處理的)東西,再回過頭來處理前面的廣義積分
,代數基本定理的一個推論說,每個實係數多項式必定可以分解成一些一次因式,以及實係數不可約的二次因式的乘積,這裡剛好又在
對數里出現了高次多項式
,於是就考慮先給
做因式分解:
後面作者就開始算一個震驚我一下午的東西,他直接去考慮如何計算
做起來依然是用反正切處理分母:
對於後面的部分,記為
,利用正餘弦的對稱性有
,於是
於是要求的
前面一塊也可以化成
代回去:
,接著又是一個震驚一下午的操作:
為了方便還是把前面的積分寫成A,泰勒展開成關於
的冪級數,然後交換次序,再用Wallis公式展開:
接著用到
廣義二項式定理
的一個情形:
(5) 式裡則考慮怎麼處理掉
,依然是湊成積分:
於是幾番波折終於得到了:
now we back to…最開始的要求的那一個:
,以及
就得到了
數學真奇妙。