傅渥成2018-07-06 12:48:02

當然有意義。

舉個最簡單的例子，假設我們有一個擴散過程，初始態為 x（0） ，然後每到下一個時刻，就乘以一個矩陣 A ，我們於是可以得到一個遞推方程 x（t） = A x（t-1）。

理論上，有了這個遞推方程，我們就可以計算出任何（整數）時刻的擴散情況，因為從遞推公式可以得到： x（t） = A^t x（0） ，這裡的 A^t 就是 A 矩陣的 t 次方的意思，這裡的 t 可以是任何的非負整數。

好了，那麼問題就來了，如果我要計算 t=0。5 時刻的擴散情況，那麼應該怎樣計算呢？從理論上來看，我們要做的就是計算 A^0。5 ，它是矩陣的乘方運算在非整數上的一種推廣，那這個要怎麼定義呢？其實很簡單，我們可以對矩陣進行特徵值分解，即： A= U‘ΛU，這裡的 U 是特徵向量構成的矩陣，Λ是以矩陣特徵值為對角元的矩陣。因為特徵向量總是正交的，所以有：

A^n = U’ （Λ）^n U

也就是說，不管矩陣怎樣乘方，它的特徵向量是不變的，變化的只是特徵值。根據這個式子，我們就可以把矩陣的乘方輕鬆地推廣到非整數了。