帥我鵬哥2021-03-30 11:22:42

1 來源

卷積其實就是為衝擊函式誕生的。“衝擊函式”是狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現象而提出的符號。古人曰：“說一堆大道理不如舉一個好例子”，衝量這一物理現象很能說明“衝擊函式”。在t時間內對一物體作用F的力，倘若作用時間t很小，作用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即衝量不變。於是在用t做橫座標、F做縱座標的座標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它可以被擠到無限高，但即使它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），為了證實它的存在，可以對它進行積分，積分就是求面積嘛！於是“卷積”這個數學怪物就這樣誕生了。

卷積是“訊號與系統”中論述系統對輸入訊號的響應而提出的。

2 意義

訊號處理是將一個訊號空間對映到另外一個訊號空間，通常就是時域到頻域，（還有z域，s域），訊號的能量就是函式的範數（訊號與函式等同的概念），大家都知道有個Paserval定理就是說對映前後範數不變，在數學中就叫保範對映，實際上訊號處理中的變換基本都是保範對映，只要Paserval定理成立就是保範對映（就是能量不變的對映）。

訊號處理中如何出現卷積的。假設B是一個系統，其t時刻的輸入為x（t），輸出為y（t），系統的響應函式為h（t），按理說，輸出與輸入的關係應該為

Y（t）=h（t）x（t），

然而，實際的情況是，系統的輸出不僅與系統在t時刻的響應有關，還與它在t時刻之前的響應有關，不過系統有個衰減過程，所以t1（

y（s）=∫x（t）h（s-t）dt，