小吶不帥但很實在2021-03-19 22:13:31

全純函式

全純函式（Holomorphic functions）是複分析研究的中心物件。

基本資訊

相關術語

亞純函式

歸類

數學函式

目錄

概述：

全純函式（Holomorphic functions）是複分析研究的中心物件；它們是定義在複平面C的開子集上的，在C中取值的函式，在每點復可微。這是比實可微強得多的條件，它表示函式無窮可微並可以用它的泰勒級數描述。解析函式（analytic function）一詞經常可以和“全純函式”互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。一個在整個複平面上全純的函式稱為整函式（entire function）。“在一點a全純”不僅表示在a可微，而且表示在某個中心為a的複平面的開鄰域可微。雙全純（Biholomorphic）表示一個有全純逆函式的。

定義

若U為C的開子集而f ： U → C是一個函式，我們稱f是在U中一點z0復可微（complex differentiable），若極限

$f‘（z\_0）\; =\; \backslash lim\_\{z\; \backslash RightArrow\; z\_0\}\; \{f（z）\; -\; f（z\_0）\; \backslash over\; z\; -\; z\_0\; \}$

存在。

極限取所有趨向z0的複數的序列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數f ’（z0）。 直觀上，如果f在z0復可微而我們從r方向趨向點z0，則函式的像會從f ‘（z0） r方向趨近點f（z0），其中的乘積是複數乘法。

這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質： 它是線性的，並服從乘積，商和鏈式法則。

若f在U中每點z0復可微，我們稱f’在U上全純。我們稱f在點z0全純，如果它在z0的某個鄰域全純。

下面是一個等價的定義。一個復全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程。

例子

z的所有復係數的多項式函式在C上是全純的。

所有z的三角函式和所有指數函式也是。 （事實上和指數函式密切相關並可以透過尤拉公式來用指數函式定義）。

對數函式的主支在集合C - {z ∈ R ： z ≤ 0}上全純。 平方根函式可以定義為

$\backslash sqrt\; =\; e^\{\backslash frac\backslash ln\; z\}$

所以任何對數ln（z）全純的地方，它也全純。函式1/z在{z ： z ≠ 0}上全純。

不是全純的函式的典型例子有複共軛（complex conjugation）和取實部。

性質

因為復微分是線性的，並且服從積、商、鏈式