手機使用者824144328732019-10-09 21:40:44

謝邀，首先，題主你的問題其實就是一個上的矩陣能否變成全是1的形式

首先，任意一個域上的矩陣都可以透過三種初等操作變成相抵標準型（就是隻有對角線是1和0，其餘位置全是0的形式）：

把一行的元素乘以一個數加到另一行上去

任意一行乘以一個非0的數

交換任意兩行

但是隻有兩個元素，所以操作2和操作3都可以透過操作1來完成操作2說乘以一個非0的數，但是隻有兩個元素0和1，一個不讓乘，一個乘了也沒用，所以操作2就是個假操作操作3說交換兩行，我們把要交換的兩行寫作向量a和b，則，運用操作1，把a行加到b行上去，變成（a，a+b），然後再把現在的b行加回a行，變成（2a+b，a+b），注意我們在中，所以2a=0，故（2a+b，a+b）=（b，a+b），再把現在的a行加到b行上，並注意到2b=0，得到（b，a），從而完成操作3所以僅使用操作1，我們就可以把一個上的矩陣變成它的相抵標準型假如這個矩陣秩為1，則該矩陣可以變成一個只有左上角那個位置是1，其餘位置全是0的矩陣，此時要變成每個位置都是1應該是一件很easy的事情，就不贅述了假如這個矩陣可以只通過操作1變成每個位置全是1，那麼它就是一個秩為1的矩陣所以秩為1是等價條件