楊過最愛李莫愁2019-07-14 17:35:30

在地上畫一個等邊三角形，每個角上種一棵樹，然後把等邊三角形中間用土壘起來，土堆頂點到每一個的距離等於下面等邊三角形邊長就行

思考思考的動物2019-07-13 10:10:57

將樹抽象為一個點，則問題等價於：

如何在幾何空間中定位四個點 A， B， C， D 使得它們兩兩之間的距離相等。

分析：

首先，我們可以在一維空間（也就是 一根直線上），隨便確定 一個點 作為 A 點，如下圖：

接著，我們確定下一個點 B，有兩種方法：

讓 B 和 A 重合，這樣 A B 之間的距離就是 0， 於是後續 C，D 在滿足兩兩之間的距離相等的要求下，也必然和 A 重合，於是我們得到了

第一種解決方案

： A， B， C， D 點重和：

讓 B 點 為 不同於 A 點 的 直線上任意一點，則可以選擇 A 點左邊的點 和 右邊的點，不妨選右邊的點，並設 AB = s，如下圖：

然後，我們確定下一個點 C。

如果僅僅只 一維空間思考，我們發現無論如何不能 找到 滿足 AC = BC = AB = s ①，因為：

當 點 C 在 A 的左邊 時，有 AC + AB = BC，若 滿足 ① 則有：

s + s = s， 2s = s

因此 s ≠ 0 於是消去 s 得到 2 = 1 矛盾；

當 點 C 在 A B 中間 和 在 B 的右邊 時，類似上面，同樣可以推出 2 = 1 的矛盾

於是我們將思路擴張到 二維平面空間中，分別以 A 和 B 點為圓心，以 s 為半徑做圓弧，兩圓弧相交於上下兩點，這兩點分別到 A ， B 的距離都是 s ，於是人選一點 作為 C 點，不妨選上邊的點，見下圖 ①：

最後，我們確定下一個點 D。

由於 A， B， C， D 要 滿足兩兩之間的距離相等，就必須滿足 AD = BD = AB = s，而又不能 和 C 點重複，於是只剩下 圖 ① 中 兩圓弧相交 的下面那個點，如果設 這個為 D 點，則 根據平面幾何的知識，可求出

CD = 2√（s² - （s/2）²） = s√（2² - 1） = s√3 ≠ s

顯然 不滿足 A， B， C， D 兩兩之間的距離相等。

於是我們將思路擴張到 三維平面空間中，分別以 A 和 B 點為圓心，以 s 為半徑做球面，三個球面 相交於一點，共有上下兩處，不妨選上面的點作為 D 點，見下圖：

最終得到

第二種解決方案

：以 A， B， C， D 四點為頂點，組成 正四面體。

我們將上面提到的空間 統稱為

歐氏空間

，透過以上分析，我們發現：

在 1 維歐式空間中，最多可以做到 2 個點滿足 兩兩之間的距離相等；

在 2 維歐式空間中，最多可以做到 3 個點滿足 兩兩之間的距離相等；

在 3 維歐式空間中，最多可以做到 4 個點滿足 兩兩之間的距離相等；

如果，令 0 維歐式空間是一個點，則顯然 在 0 維歐式空間中，最多可以做到 1 個點滿足 兩兩之間的距離相等；

我們可以歸納總結得到：

在 n（≥ 0） 維歐氏空間中，最多可以做到 n + 1 個點 滿足 兩兩之間的距離相等。

這個 n+1 個頂點 構成的 幾何體 我們稱為

幾何單形

。幾何單形 的稜長 s = 1 時稱

標準幾何單形

，我們用 頂點序列表示，如：

［A］、［AB］、［ABC］、［ABCD］

但是，我們發現，除了0維，每個維度都有兩種 幾何單形，於是 我們用上面的 頂點序列表示 加上 負號 表示 另外一種，如：

-［A］、-［AB］、-［ABC］、-［ABCD］

最後，我們還發現 高緯度 幾何單形的 邊緣 為低緯度 幾何單形，於是定義 邊緣運算元：

∂［A］ = 0，一個點沒有邊沿；

∂［AB］ = ［B］ - ［A］， 線段的邊緣 是 兩個端點；

∂［ABC］ = ［BC］ - ［AC］ + ［AB］， 三角形的邊緣 是 線段；

∂［ABCD］ = ［BCD］ - ［ACD］ + ［ABD］ - ［ABC］， 四面體的邊緣 是 三角形；

。。。

∂［P₀P₁P₂。。。P_n］ = ［P₁P₂。。。P_n］ - ［P₀P₂。。。P_n］ + 。。。 + （-1）ⁱ ［P₀P₁P₂。。。Pᵢ₋₁Pᵢ₊₁。。。P_n］ + （-1）ⁿ［P₀P₁P₂……P_{n-1}］

邊緣運算元的定義中，交錯在 每個維度有兩種幾何單形 選取 是有意為之的，這樣會使得 兩次邊緣運算元 的結果總是 0，例如：

∂∂［ABC］ = ∂（［BC］ - ［AC］ + ［AB］） = ∂［BC］ - ∂［AC］ + ∂［AB］ = ［C］ - ［B］ - （［C］ - ［A］） + ［B］ - ［A］ = 0

利用 邊緣運算元 的這種特殊性質，數學家 龐加萊 從 幾何 中 發展出 同調群 這樣代數結構，從而 開創了 《代數拓撲學》這個分支。

以上是在歐氏幾何中，進行分析的，那麼非歐幾何會是什麼情況呢？

由於非歐幾何多變複雜，不能一一論述，因此 這裡 僅以 黎曼球面 Sⁿ 為例進行說明。

在 Sⁿ 中 兩點 距離就是 連線兩點 大圓 （稱為 測地線）劣弧 的長度。

S¹ 為1維閉流形，嵌入2維歐氏空間中，就是一個單位圓圈；很容易知道 最多可以做到 3 個點滿足 兩兩之間的距離相等，見下圖：

S² 為2維閉流形，嵌入3維歐氏空間中，就是一個單位球面；很容易知道 最多可以做到 4 個點滿足 兩兩之間的距離相等，見下圖：

最後，歸納總結的得到：在 黎曼球面 Sⁿ 中，最多可以 做到 n + 2 個點滿足 兩兩之間的距離相等。

（由於本人數學水平有限，以上答案僅供題主和大家參考。）

袁不晚2019-07-12 11:17:40

種四棵樹，使它們之間距離相同？

題幹非常簡單明瞭，卻折射出了一種數學思維。

看到這個題目，第一反應是拿出紙筆，在紙上畫各種四邊形，凡是四條邊相同的都畫了，什麼正方形啦、等邊平行四邊形啦、菱形啦。埋頭畫了半天，卻發現沒有一個實現得了。

是的，在我們的普遍印象中，種樹嘛，不就是在地上挖好坑，種上就行了。

這也是這道題給我們挖的一個“坑”。

仔細看題，有對種樹的環境進行限定嗎？有說一定要在平面上種嗎？

說到這裡，可能有的人已經知道了。

沒錯，此題考察的其實是立體空間思維。

改變下思維，用立體思維而非平面思維，一個正四面體就可以輕鬆解決了。

正四面體的每一面都是一個全等正三角形，也就是說這個四面體的所有稜長都相等。如果在它的四個頂點種樹，自然地，四棵樹之間的距離也就相等。

轉換到現實中，也就是在山頂和山腰種樹。或者其中的一棵樹種到房頂，其餘在地面，只要保證互相距離相同就行了。

啟思蒙智2019-07-14 16:43:16

一個水平面上不存在4個兩兩相等的點，可以反證一下。

假設ABC兩兩相等，平面上組成一個等邊三角形ABC，由於三角形兩邊只和大於第三邊，所以無論D在何位置都不能是ABCD兩兩相等。

東水西原2019-07-14 20:43:32

這初步應該是個數學問題，要滿足四個點兩兩距離相等，只有正四面體的四個頂點，可以滿足兩兩相等的條件。有人設想壘一個類似金字塔的高臺，只是金字塔底面是正方形，正四面體底面是個正三角形的。在壘好的正四面體的四個頂點上各種一棵樹，就達到題主的要求了。

可是壘正四面體高塔太麻煩了，還有一種方法只要動動筆算算就行了。

大家想想，我們的地球是個球體，球體是有內接正四面體的，能不能在地球上找到四個兩兩相等的四個點來種樹呢？

地球平均半徑約是6370千米，則內接正四面體的邊長是6370×4÷√6≈10400千米，知道地球半徑和絃長求弧長，大概可能一萬兩千多千米吧。可惜數學、地理都沒學好，手邊也沒地球儀，只能估量。從北京到紐西蘭一萬兩千多千米，從北京到南非、從紐西蘭到南非差不多也是一萬兩千多千米。然後再在美洲找到地球內接正四面體的另一個點，四個兩兩相等的點就找好了。

長空雄鷹462019-07-14 22:59:53

最簡單的說，正四面體能做到。只不過這樣一來，種樹的地方就有講究了。

唐太宗一李世民2019-08-16 08:54:00

平面不可能了吧，立體倒是可以。

一直困惑2019-09-03 15:23:14

種樹，意味著是在一個平面上，根據歐幾里得空間，不可能。但是，如果是在現代化的立體養殖工廠，可以做到，原因在於，立體空間中，符合三維歐幾里得理論，可以實現兩兩相等。

ejiepe2019-08-02 18:21:09

任意兩棵樹距離都相等只能立體種植，正四面體。