小滿之後是芒種2018-08-02 23:38:09

俺不會，一下是知乎網上覆制的原文。我複製的地方作者叫 靈劍。

向量性質來源於歐式空間是線性空間、同時也是內積空間這一事實。它們都是可以運用歐氏幾何的性質加以證明的。

線性空間的性質集中體現在第五公設上，它等價於過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，這樣任何一條有向線段都可以透過作平行四邊形的方式平移到任意一點上。如果第五不成立，那麼有向線段無法平移，就不能定義向量了。

向量和是三角形法則，這本身是一個定義，但是需要它滿足交換律和結合律、0元和逆元，這個向量和才能跟加法一樣使用。0元和逆元比較顯然，長度為0的向量和任意向量相加都等於它自身；顛倒開始和結束點，得到的向量與原始向量和為0。交換律透過平行四邊形可以立即得到，結合律則透過三角形法則，可以發現加括號不影響求和結果（圖形不變）。

除了向量和，線性空間還要求有數乘的性質，數乘透過方向相同、長度成比例定義。數乘比較重要的是要證明兩個分配律（兩數相加乘以向量，兩向量相加乘以數），前者根據數乘定義和長度的可加性，後者透過相似三角形三邊成比例可以得到證明。

透過證明以上性質可以得出歐式空間是一個線性空間。由於平面幾何中不平行的直線都相交，可以證明任何向量都能分解成兩個不平行的向量的線性組合，進而證明平面幾何中的線性空間維度為2（立體幾何則為3）

向量法中重要的運算還有內積。內積是向量和向量的雙線性運算，相應性質也很容易透過定義證明。除了內積，還有外積，這也是一種代數結構，性質也可以透過定義證明。

因為這些性質，所以向量可以像數一樣進行運算，可以使用交換律、結合律、分配律。

同樣物理中的向量分解也來自於物理量的線性性，比如說我們可以看到物理定律中力和加速度成正比，而加速度是速度的導數，速度是位移的導數，而歐式空間裡位移就是向量，是個線性空間，它們的導數也各自構成了線性空間，可見說回來還是回到歐式空間的性質了。其他在經典物理學中可以看到的線性空間大多數也是來自於歐式空間的線性性。更高階的物理中會有更高維度的線性空間出現。

傅渥成2018-08-03 01:05:57

這個問題我們可以有很多不同層次的回答。

假如你是一個高中生，我們可以這樣理解：根據平面向量基本定理，平面向量可以沿任意兩個不平行的方向分解，而且這種分解的結果還是唯一的。如果我們選擇垂直的兩個方向i和j，那麼我們可以將各個平面向量進行投影，得到座標，這其實也就是解析幾何的基本思路。透過這種方法，我們可以將各種幾何問題向量化。

如果要深究這背後的原因，其實應該歸納為以下兩點，首先，平面幾何（或者其它平直空間中的幾何）對應著通常歐式空間，而歐式空間（也就是我們所選擇的單位正交座標基所構成的空間）是線性空間，因為是線性的，所以可以進行各種線性疊加（假如空間不是平直的，很多時候就不能簡單疊加。另一方面，平面幾何問題中中還常常遇到夾角、距離等問題，而這些問題都與「內積」的性質有關：兩個單位向量的內積等於其夾角的餘弦，而距離則等於法線方向上的內積，這些內積的性質依賴於「內積空間」的性質。正好，我們所熟悉的歐式空間不但是一個線性空間，而且還是一個內積空間，所以向量的方法可以用來進行各種幾何證明。

靄秀樺2018-08-03 04:00:45

向量概念發源於歐氏幾何，發展並完善於非歐幾何。因此，歐氏幾何是向量之母，歐氏幾何定理都可以透過向量表述。而非歐幾何則離不開向量表述。另外，縱然是高於三維的歐氏幾何，誰有辦法在三維空間畫出高於三維的幾何圖形呢？只好透過向量來描述高於三維的幾何影象。