大MI2020-12-04 11:17:25

（1） 凱利公式

凱利公式由John L。Kelly。Jr於1956年發表在《貝爾系統技術期刊》上，用於計算特定賭局中的下注比例，以使使用者的資金增長率達到最大化。

凱利公式的原始表示式如下：

f* = （ kp - 1 ） / （ k - 1 ）

其中p代表勝率，k代表毛賠率。

（2） 毛賠率

毛賠率指包含本金的賠率。比如單次下注1元，賭輸時損失1元，賭贏時獲得3元（包含下注的1元）。

則本次賭局的毛賠率為3：1，淨賠率為2：1，淨利潤為2元。

（3） 應用舉例

假設有一場賭局，每次下注的勝率為60%，賭輸時損失全部下注金額，賭贏時可獲得3倍的下注金額（含下注金額）。

請問每次應下注多大金額，才能使資金的增值速度最快？

在這場賭局中，勝率p=60%，毛賠率k=3，代入凱利公式計算，可求得最佳下注比例：f* = 40%

即每次拿剩餘資金的40%下注，可使資金的增值速度最快。

凱利公式在投資中的應用

（1） 凱利變形式

由上述分析可知淨賠率 = 毛賠率 - 1，現設賭局的淨賠率為b，則b=k-1；設賭局輸掉的機率為q，則q=1-p。

將以上變形式代入 f* = （kp-1） / （k-1），化簡得到凱利公式的等價式如下：

f* = （ bp - q ） / b

其中p代表賭贏率，q代表賭輸率，b代表淨賠率。

（2） 應用舉例

假設有一個投資機會，止盈（Win）W=10%，上損（Loss）L=20%，盈利的機率為p=70%，我們應該拿多少資金來建倉呢？

在這筆投資中，勝率p=70%，淨賠率b=0。5（b=W/L），代入公式 f=（bp-q）/b 計算：f=10%

（3） 倉位計算公式

凱利公式的本質是對風險的管理，f=10%*表示我們應該用剩餘資金的10%去冒險，即止損金額應為剩餘資金的10%。

根據公式冒險資金 = 倉位 * 止損百分比可知：

倉位 = 冒險資金 / 止損百分比

因此，這筆投資我們的倉位應為：M=f*/L=50%

我們將b=W/L代入倉位計算公式：M=f*/L，化簡後如下：

M = （ pW - qL ） / WL

其中p代表勝率，q代表敗率，W代表止盈百分比，L代表止損百分比。

代入公式驗證一下，結果仍然是50%。

（4） 凱利公式與槓桿

由於凱利公式計算的是冒險資金的比例，因此，在盈利期望值較大或止損百分比較小的情況下，可以會出現倉位大於100%的情況。

舉例：現有一個投資機會，勝率為60%，止損為10%，止盈為10%。

代入公式 （pW-qL）/WL計算，得到最佳倉位M=200%。

根據凱利公式計算，這筆投資應該使用剩餘資金的20%冒險，但由於止損百分比為10%，所以倉位應為200%。

理論上，可以借錢建倉或使用槓桿。