這篇文章以及之後的兩篇文章是為了小結一下我這學期上的三門M2 level 的課程。之所以想寫這些文章是因為相比起本科生課來說， M2課程強度更大一些，做一個小的總結更容易理解這門課。另一個原因是感覺知乎上對動力系統遍歷論的討論不多，這個小總結就當是拋磚引玉吧，希望大家能來多談談自己的理解。

Ergodic Theory 這門課的任課教師是巴黎十一大教授 Hans Henrik Rugh。來上課的主要是巴黎十一大的學生，還有幾名來自巴黎高師的學生。

課程主要內容：

1。 Measure preserving map， Ergodic map， Mixing and weak mixing map 的定義，Poincare Recurrence Theorem， Kac‘s Formula， 圓周上旋轉對映的 Ergodic 性質， Von-Neumann的 Mean Ergodic Theorem。

2。 Birkhoff’s Ergodic Theorem， L^p Ergodic Theorem， Gelfand‘s Problem， 圓周上的 Doubling map。

3。 Products， Shifts， and Factors， Strong Law of Largr number的遍歷論證明， Invertible Extension， Symbolic Dynamics簡介。

4。 Continued Fractions， Gauss Map， 關於連分數的一個漸進公式。

5。 Hilbert Metric， Garrett Birkhoff’s Theorem， Spectral Gap Theorem， Perron-Frobenius Theorem。

6。 Log-Lipschitz Cone， Ruelle Transform， 應用 Spectral Gap Theorem 得到相伴的 mixing measure， Gibbs Measure。

7。 Measure Theoretic Entropy， Entropy under conjugacy， Kolmogrov-Sinai Theorem， 計算符號動力系統的 measure theoretic entropy。

8。 緊度量空間上 T-invariant measure 的存在性， Krein-Milman Theorem， Chaquet Theorem， T-invariant measure 空間的幾何性質。