球體積求導得表面積，圓面積求導得周長，必然還是偶然？我們能透過導數理論進入其他維度空間嗎？知乎使用者2020-10-04 01:22:12

這個結論確實對n維的情況也成立。引入一些記號，n維球面是n+1維空間中的這樣一個集合

S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}

n+1維球體就是被n維球面包圍的空間，即

B^{n+1}(r)=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:\left\|x\right\| < r\right\}

然後

V_n(r),S_n(r)

分別代表n維球的體積和n維球面的面積。根據量綱的關係，我們很容易得到

V_n(r)=V_n(1)r^{n}, S_n(r)=S_n(1)r^{n}

為了簡化記號，如果半徑r=1的時候，我們略去括號，即

V_n=V_n(1),S_n=S_n(1)

。

在低維的情況，我們知道以下的結論。

1維空間，有1維球（一個線段），0維球面（線段的端點），於是

V_1(r)=2r

，

S_0(r)=2

。

2維空間，有2維球（圓盤），1維球面（圓圈），於是

V_2(r)=\pi r^2

，

S_1(r)=2 \pi r

。

3維空間，有3維球（球），2維球面（球面），於是

V_3(r)=4/3 \pi r^3

，

S_2(r)=4 \pi r^2

。

1維空間，我們可以將線段看成無窮個端點堆積起來的。2維空間，我們也可以將圓盤看作不同半徑的圓周堆積起來的，3維空間中，我們可以將球看作不同半徑的球面堆積起來。將這個觀察抽象並向高維推廣後我們得到這樣一個積分關係，

V_{n+1}(R)=\int _{0}^{R}S_{n}(r)\,dr.

對這個關係式兩邊同時求導後的結果就是題主觀察到的結論了。另一方面，

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}

於是透過這兩個關係式迭代以及數學歸納法可以得到n維球體積和n維球面面積的公式，這也是一個不錯的練習題。

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這裡是答案：

V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}

這裡

\Gamma

是 gamma function，

\Gamma(1/2)=\sqrt\pi, \; \Gamma(1)=1, \; \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

， 於是當x是整數n的時候我們有

\Gamma(n+1)=n!

。這裡引入gamma函式的目的是簡化表示式，不然的話要分成n是奇數或偶數兩種情況討論（因為遞推關係是n和n+2的關係，所以奇偶的情況會有所不同）。然後我們還有

{\displaystyle S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

球體積求導得表面積，圓面積求導得周長，必然還是偶然？我們能透過導數理論進入其他維度空間嗎？平成十一年的渚薰2020-10-04 02:30:08

必然

大球體積減小球體積得“球皮”體積，球皮無限薄下去（小球與大球的半徑差趨於零），內外球皮的面積可以視為相等，球皮體積除以球皮高度就是球表面積。

同理，同心圓的半徑差越短，這個圓環的面積越接近圓周長乘以半徑差。

球體積求導得表面積，圓面積求導得周長，必然還是偶然？我們能透過導數理論進入其他維度空間嗎？謎之槍兵X2020-10-04 16:30:00

前一個問題我早就回答過了，包括“怎樣才能保證體積求導得到表面積”我也在那邊給了很詳細的分析；我著重回答一下後一個問題。

“透過導數理論進入其他維度空間”這句話，說實話我沒看懂。前一個問題在我看來似乎只能提取出“高維空間的某些性質可以用導數描述”這樣的結論，但是能用來表述高維空間的“某些性質”的東西多了去了——最典型的就是乘方運算可以用來表述高維空間中的“超立方體”的“超體積”——難道透過它們都能“進入其他維度空間”嗎？

實際上，

數學是體現於現實中、描述現實的，而不是支配現實、修改現實的

。你可以用數學描述現實世界中的規律，但是“透過改變數學規律來改變現實”這句話（可笑的是這種想法經常在科幻作品中出現，甚至包括《死神永生》在內）在現實中的靠譜程度，基本上就相當於“只要我把藍色叫作紅色，就不會再有藍色了”的程度。

當然，如果把“思考高維度的性質”算作“思維進入高維度空間”，那倒確實也算是能夠透過導數進入高維空間了。不過我個人不認同這種解釋，因為

思維最多算是“談論”高維度空間，而沒有“使用”高維度空間

——打個比方的話，“談論”和“使用”的區別就是BABA IS YOU中的“BABA”這個字和BABA這個奇怪生物的區別。

既然提到BABA IS YOU，有的同好可能要問了：在BABA IS YOU的世界中難道不就是可以透過修改規則來改變現實嗎？其實這只是一個錯覺。認為“BABA IS YOU中存在對規則的修改”，實際上是將“普通的推箱子規則”或者“每一關開始時能看到的規則”誤以為是BABA IS YOU的規則。然而

BABA IS YOU真正的規則是不可修改的

——例如，每個謂詞的“具體作用”都是不可修改的，你永遠無法做到在LAVA IS HOT、BABA IS MELT（且LAVA和BABA都不FLOAT）的時候把BABA推進LAVA裡而不讓BABA掛掉；什麼樣的詞語組合能夠“生效”也是不可修改的，你永遠無法把BABA IS YOU三塊文字斜著排列而讓“BABA IS YOU”成為一條可用的規則。這些不可修改的規則才是能與現實中的數學或者自然科學類比的東西，而要類比BABA IS YOU玩家“直覺”中的“修改規則”，不如用“把電路氣化掉，電路就不導電了，電學規律就被‘修改’了”這樣的事情。

球體積求導得表面積，圓面積求導得周長，必然還是偶然？我們能透過導數理論進入其他維度空間嗎？塞爾達2020-10-06 19:58:08

積分推廣之，這是顯然的。

你該仔細看看黎曼積分的定義

球體積求導得表面積，圓面積求導得周長，必然還是偶然？我們能透過導數理論進入其他維度空間嗎？知乎使用者2020-12-29 16:15:09

可以是可以，就是去了你也感知不到！

求導來源於極限，當你能被極限分解以後，你才可以進入低維度。