先來看一道小題：

已知

\sqrt{3}sinx-cosx=1

，求

tanx

最無腦的做法就是聯立

sin^2x+cos^2x=1

，分別求出

sinx,cosx

，再求

tanx

。

如果資料簡單還好，要是資料塞一堆

根號

，emmm，那求解將會很棘手。下面採取配湊的思想進行求解：

由

\sqrt{3}sinx-cosx=1

Ι

令

\sqrt{3}cosx+sinx=t

ΙΙ

Ι^2+ΙΙ^2=1+t^2=4

\Rightarrow t=\pm \sqrt{3}

\sqrt{3}Ι+ΙΙ=4sinx

\Rightarrow

sinx=\frac{t+\sqrt{3}}{4}

，

cosx=

\sqrt{3}sinx-1=\frac{\sqrt{3}t-1}{4}

則

tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{t+\sqrt{3}}{\sqrt{3}t-1}=

0

或

\sqrt{3}

（由於上面式子是我隨便瞎寫的，所以在求解過程中還是略微有些繁瑣，但已經避開了常規解法的“高壓”計算）而對於上面這種型別的小題，還有另外一種解法：化齊次。

由

sin^2x+cos^2x=1

，

有

\frac{(\sqrt{3}sinx-cosx)^2}{sin^2x+cos^2x}=1

即

\frac{3sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx+cos^2x}{sin^2+cos^2x}=1

分子分母同除於

cos^2x

（前提，

cos^2x\ne0

）

有

\frac{3tan^2x-2\sqrt{3}tanx+1}{tan^2x+1}=1

\Leftrightarrow tan^2x-\sqrt{3}tanx=0

解得

tanx=0

或

\sqrt{3}

另外的，如果上面的

x

取值範圍是

(0,π)

，也即放在解三角形的環境裡，在求解其正弦值時，配湊是不錯的解題手段。

因為

\sqrt{3}Ι+ΙΙ=4sinx＞0

故

t=\sqrt{3}

，

所以

sinx=\frac{\sqrt{3}+t}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}

（有空再更，我就一懶狗2333）