多重共線性，是我們學習計量幾乎入門時就會接觸的一個專業名詞。對多重共線性的認識，僅限於在做迴歸時看一看相關性係數表（而且一般都不會有問題），再了不起的就是算一下VIF。但其實對它並沒有一個直觀的認識。也就是，在實際處理資料的時候，多重共線性會導致什麼問題，或者說如何影響迴歸結果？

在正式進入這個問題之前，我想指路一個連玉君老師在知乎上的回答，問題是，加入某個控制變數後原解釋變數不顯著了是什麼原因（連結見文末）。他的case III就是講多重共線性。其實連老師的回答和置頂評論已經解釋了原理，但我卻是在自己實際跑資料時，遇到這個問題之後才深刻理解了它。這裡，我也就用一個跑資料的例子，來直觀地展示多重共線性，是如何影響我們做論文時朝思暮想的“星星”的。

用來舉例的資料，是研究學生數學成績（mathscore）的影響因素，關注的解釋變數是父母教育水平（parent），控制變數包括性別（male）、種族（race）、和考前準備程度（prep）。樣本量是1000。 首先我們來看數學成績和父母教育水平的單變數關係，二者是顯著負相關的。

這裡的資料集僅作案例展示多重共線性的影響，暫不考慮其經濟意義是否合理。假設這個顯著負相關的結果就是我們理想的結果。我們下面分別來考慮

1）新增其他控制變數會出現什麼；

2）不新增控制變數，而新增一個捏造的、與我們關注的解釋變數parent存在嚴重共線性的變數，會是什麼結果

3）同時新增控制變數、和上面捏造的的變數，會是什麼結果。

我們發現，新增正常的其他控制變數後，parent和mathscore之間的顯著負相關關係仍舊存在，此時依舊是理想的。下面，我們來一點干擾。

為了實現較高的共線性，“定製”一個變數，其值等於parent的值加上0。5倍的標準正態分佈值。新的變數給它取名叫parent_copy，它和parent之間的相關係數是0。9646，非常接近於1。

這個時候我們再來看看，把這個變數加進模型中，會發生什麼。下面的截圖分別是沒有其他控制變數的模型，和有其他控制變數的模型，可以看到，parent變得不顯著了！當然，parent_copy也不顯著。

回顧上述過程，多重共線性，使得我們的結果從理想的顯著變得不顯著；如果把這個過程反過來，不就是一個把不顯著的結果做到顯著的過程嘛。所以，當結果不理想時，排查多重共線性問題，或許會有驚喜出現。當然這只是非常簡化條件下的無奈之舉，在現實的研究中，幾乎不會有如此高的共線性，且更正規的做法是增加樣本量，當然這又是另外一個話題了。

最後，為什麼多重性為什麼會有這種“作用”，又回到連老師那個答案裡的資料：

其實主要的問題是 OLS 的遊戲規則決定的。在模型 $$ y = a + b1*x1 + b2*x2 $$ 中。b1 的含義是：控制常數項項和 x2 的前提下，x1 變動一個單位導致的 y 的變動。對於兩個嚴重共線性的變數來說，因為一個變數已經解釋了另一個變數對y的大部分解釋，所以控制任何一個研究另一個影響時，他們都是不顯著（也就是沒有解釋力的）。