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（本文主要參考baby rudin）

設

M

是度量空間

(X,d)

中的緊集，

C(M)

是

M

上實值連續函式的度量空間，配備

d_\infty

度量。設函式序列

\left\{f_n\right\}\subseteq C(M)

。顯見

\left\{f_n\right\}

在度量空間

(C(M),d_\infty)

有界，當且僅當

\left\{f_n\right\}

一致有界。

\left\{f_n\right\}

在度量空間

(C(M),d_\infty)

收斂，當且僅當

\left\{f_n\right\}

一致收斂。

我們回憶

\mathbb{R}

上有致密性定理，即有界序列必有收斂子列（有界的子度量空間是列緊的）。那麼對於

C(M)

是否還有類似結論呢？即一致有界是否蘊含存在一致收斂的子序列呢？下面的例子表明，連存在點態收斂的子列都保證不了。

例子

在度量空間

(C[0,2\pi],d_\infty)

中，考慮

f_n(x)=\sin nx

。 則顯見

f_n

一致有界。對任何子列

f_{n_k}(x)=\sin n_k x

，假設點態收斂，則對所有

x\in [0,2\pi]

必有

\lim_{k\to\infty} (f_{n_k}(x)-f_{n_{k+1}}(x))=0

，但可以計算

\int_{[0,2\pi]} (f_{n_k}(x)-f_{n_{k+1}}(x))^2dx=2\pi

。

這違背了控制收斂定理。因此

f_n

不存在點態收斂子序列。

從這個例子可以看到，單單一致有界還是不夠的。這就引出了下面所要討論的等度連續的概念。

等度連續

定義

設

E

是度量空間

(X,d)

的子集，

\mathcal{F}

是若干

E\to\mathbb{R}

函式組成的函式族。如果對任何

\varepsilon>0

，存在

\delta>0

，使得對任意函式

f\in \mathcal{F}

以及任意

x,y\in E

，

d(x,y)<\delta

蘊含

|f(x)-f(y)|<\varepsilon

，就說

\mathcal{F}

在

E

上

等度連續

。

註記

注意

\delta

的位置：它放的非常前！這意味著等度連續蘊含

\mathcal{F}

中所有的函式

f

都是一致連續的，但反過來不對。

例子

設

M\subseteq\mathbb{R}

是緊集（

\mathbb{R}

配備通常度量），

\mathcal{F}=\left\{f:M\to\mathbb{R},\ f\text{ 是Lipschitz的且Lipschitz常數}\leq 1\right\}

則

\mathcal{F}

在

M

上等度連續。

對角線論證

定理

設

E

是度量空間

(X,d)

中的可數子集，

\left\{f_n\right\}

是

E\to\mathbb{R}

的逐點有界的函式序列，那麼存在子序列

\left\{f_{n_k}\right\}

在

E

上點態收斂。

證明：由

E

可數知

E=\left\{x_1,x_2,\cdots\right\}

。 因為

\left\{f_n(x_1)\right\}

有界，所以存在

\left\{f_n\right\}

的子序列

S_1: f_{1,1}, f_{1,2}, f_{1,3},\cdots

使得

\left\{f_{1,k}(x_1)\right\}

收斂。

現在，再次注意到

\left\{f_{1,k}(x_2)\right\}

是有界的。於是又會存在

S_1

的子序列

S_2: f_{2,1}, f_{2,2}, f_{2,3}, \cdots

使得

\left\{f_{2,k}(x_2)\right\}

收斂。

依此類推，可作

S_3,S_4,\cdots

。

現在考慮對角線上的序列

S: f_{1,1},f_{2,2},f_{3,3},\cdots

注意到序列

S

除去前

n-1

項後就是

S_n

的子列，因此對任何

x_i\in E

都有

\left\{f_{n,n}(x_i)\right\}

收斂。這意味著

S

就是我們要找的在

E

上點態收斂的子序列。

\quad\square

Arzela-Ascoli 定理

定理（Arzela-Ascoli）

設

M

是度量空間

(X,d)

的緊子集，

f_n:M\to\mathbb{R}

是一列連續函式。如果

\left\{f_n\right\}

在

M

上一致有界且等度連續，那麼

\left\{f_n\right\}

含有一致收斂的子序列。

證明：設

E

是

M

的可數稠密子集（總能找到這樣的

E

）。由剛才的定理，

\left\{f_n\right\}

有一個子列

\left\{f_{n_k}\right\}

在

E

上點態收斂。現在證明

\left\{f_{n_k}\right\}

在

M

上一致收斂。

對於任何

\varepsilon>0

，取等度連續所確定的

\delta>0

。 注意到

\bigcup_{x\in M} B(x,\delta)\supseteq M

。 由

M

是緊集以及

E

在

M

中稠密的事實，知道存在有限個

x_1,\cdots, x_n\in E

使得

\bigcup_{s=1}^n B(x_s,\delta)\supseteq M

。

因為

f_{n_k}

對每個

x\in E

收斂，由柯西收斂原理知，存在正整數

N

，使得對任意

s=1,\cdots,n

及

i,j\geq N

，都有

|f_{n_i}(x_s)-f_{n_j}(x_s)|<\varepsilon

（稍微注意一下，這裡還不是一致收斂，為什麼這裡

s

可以放在

N

後面？這是因為

x_s

是有限多個的，所以可以取每個對應的

N

最大值）。

如果

x\in M

，那麼由剛才的構造知存在某個

s

使得

x\in B(x_s,\delta)

，即

d(x,x_s)<\delta

。因此由等度連續，知道對每個

i

，都有

|f_{n_i}(x)-f_{n_i}(x_s)|<\varepsilon

。

這樣的話，對任意

x\in M

及

i,j\geq N

，就有

|f_{n_i}(x)-f_{n_j}(x)|

\leq |f_{n_i}(x)-f_{n_i}(x_s)|+ |f_{n_i}(x_s)-f_{n_j}(x_s)|+ |f_{n_j}(x_s)-f_{n_j}(x)|

<3\varepsilon

由一致收斂版本的柯西收斂原理（或者度量空間

(C(M),d_\infty)

的完備性）知道

\left\{f_{n_k}\right\}

在

M

上一致收斂。

\quad\square

(C(M),d_\infty)

的緊集

上面的討論，能給出

C(M)

的子集是否是緊的等價條件。

定理

設

M

是度量空間

(X,d)

中的緊集，

(C(M),d_\infty)

是由所有

M\to\mathbb{R}

的連續函式構成的度量空間，配備

d_\infty

度量。則

\mathcal{F}\subseteq C(M)

是緊的，當且僅當下面三條同時成立：

\mathcal{F}

在

(C(M),d_\infty)

中是閉的。

\mathcal{F}

在

(C(M),d_\infty)

中是有界的（或者等價地，

\mathcal{F}

在

M

上一致有界）。

\mathcal{F}

在

M

上等度連續。

證明：

(\Leftarrow)

這個方向就是Arzela-Ascoli定理（為什麼？由一致有界和等度連續，知道存在一個子序列一致收斂，即在

(C(M),d_\infty)

中收斂。再由閉集知道這個子序列的極限仍在

\mathcal{F}

中。這樣，

\mathcal{F}

就是列緊的，也即緊的）。

(\Rightarrow)

1 和 2 無需再證（任何度量空間中的緊集都是閉且有界的）。因此只需證 3，即等度連續。

對任何

\varepsilon>0

， 因為

\mathcal{F}

是緊的，所以從開覆蓋

\bigcup_{f\in\mathcal{F}} B(f,\varepsilon)\supseteq \mathcal{F}

中可以選取有限子覆蓋

\bigcup_{i=1}^r B(f_i,\varepsilon)\supseteq\mathcal{F}

，其中每個

f_i\in\mathcal{F}

。

因為緊集

M

上的連續函式一定一致連續，所以存在

\delta>0

，使得對任意

i=1,\cdots,r

及

x,y\in M

，

d(x,y)<\delta

蘊含

|f_i(x)-f_i(y)|<\varepsilon

。

由

\bigcup_{i=1}^r B(f_i,\varepsilon)\supseteq\mathcal{F}

可知，對任何

f\in\mathcal{F}

，都存在某個

s=1,\cdots,r

使得

d_\infty(f,f_s)<\varepsilon

。因此對任何

x,y\in M

，都有

|f(x)-f_s(x)|<\varepsilon

且

|f(y)-f_s(y)|<\varepsilon

。當

d(x,y)<\delta

時，

|f(x)-f(y)|

\leq |f(x)-f_s(x)|+|f_s(x)-f_s(y)| +|f_s(y)-f(y)|

<3\varepsilon

這就證明了

\mathcal{F}

是等度連續的。

\quad\square