機率論複習(2): 一些初等的問題

這一部分主要針對課本前兩章進行題目和例項的補充，並夾雜一部分知識點。

首先我們來看幾個古典概型的問題。

例題2.1

個男孩和

個女孩隨機地沿圓桌坐下，試問任意兩個女孩都不相鄰的機率。

圓排列和插空法。熟悉排列組合中的各種已知結果並熟練運用乘法原理和加法原理。

解答

取樣本空間

$\Omega$

為所有的坐法，顯然

$\quad |\Omega|=\frac{(m+n)!}{m+n}=(m+n-1)!$

不妨設此事件為

，顯然當

時

$A=\varnothing$

從而

。

當

$m\geq n$

時，考慮先讓所有男孩坐下，有

種坐法，這些男孩之間有

個空位來安插未落座的

個女孩，因此易得女孩的坐法有

$\binom{m}{n}n!$

種，從而事件

中共有

$(m-1)!\cdot\binom{m}{n}n!$

個樣本點，因此

$\quad P(A)=\frac{(m-1)!\cdot\binom{m}{n}n!}{(m+n-1)!}=\frac{\binom{m}{n}}{\binom{m+n-1}{n}}$

例題2.2

從對稱群

中任取一個置換，這個置換恰有

個不動點的機率

是多少（

$0\leq k\leq n$

）？

這個問題是從課本第一章習題第35題抽象而來。關鍵是容斥原理的運用。

解答

樣本空間可以直接取

，其中有

個樣本點。

我們先來考察

的情況。設

$\quad A_i=\{\sigma\in S_n:\sigma(i)=i\}$

則由容斥原理

$\quad \left|\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right|=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n-i)!=\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}n!}{i!}$

從而

$\quad \left|\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_i}\right|=n!+\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}n!}{i!}$

於是

$\quad p_0=\frac{n!+\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}n!}{i!}}{n!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}$

對於一般的情況，利用上面所得可知，從

中取一個置換有給定的

個點（

$\binom{n}{k}$

種選法）為不動點而另外

個點不是不動點的情況有

$\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^{i}(n-k)!}{i!}$

種，因此

$\quad p_k=\frac{\binom{n}{k}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^{i}(n-k)!}{i!}}{n!}=k!\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^{i}}{i!}$

*例題2.3

利用機率論的想法證明對正整數

，

，若

則

$\quad1+\sum_{j=0}^{A-a}\prod_{i=0}^{j}\frac{A-a-i}{A-1-i}=\frac{A}{a}$

該題取自課本第一章習題第32題，這類問題要求解題者積累了足夠多的做題經驗，才能從一個式子的外形看出什麼樣的事件機率計算能套用，個人覺得不太可能作為期末考試題出現。

解答

設袋中有

個球，其中

個是白球，其餘為黑球。現在不放回地從袋中逐個取球，記第

次才首次取得白球的機率為

，顯然

$\sum_{k=1}^{A}p_k=1$

，且易得

$\quad p_1=\frac{a}{A}$

當

$2\leq k\leq A-a$

時

$\quad p_k=\frac{a}{A}\prod_{i=0}^{k-2}\frac{A-a-i}{A-1-i}$

當

時

。

於是有

$\quad\frac{a}{A}+\sum_{k=1}^{A}\frac{a}{A}\prod_{i=0}^{k-2}\frac{A-a-i}{A-1-i}=1$

稍作整理即得要證等式。

接下來看一道經典的幾何概型的問題（我記得在高中課本上是例題）。

例題2.4

甲和乙約定明天早上七點到八點在某地會面，假設兩人到達的時刻是（七點到八點之間）隨機的，試求第二天出現其中一人需要等待另一人半小時以上的機率。

解答

設甲和乙到達的時刻是

和

（單位：時），可取樣本空間為

$\quad\Omega=\{(x,y):0\leq x,y\leq1\}$

這是一個單位正方形。其中一人需要等待另一人半小時以上可以描述為事件

$\quad A=\{(x,y):|x-y|>\frac{1}{2}\}$

於是可知結果為

$\quad P(A|\Omega)=\frac{m(A\cap \Omega)}{m(\Omega)}=\frac{1}{4}$

然後我們看一下，看似平凡的全機率公式和貝葉斯公式在具體問題中的應用。

例題2.5

設一個家庭有

個孩子的機率為

$\quad p_n=\begin{cases}ap^n&n\geq1\\[2ex] 1-\frac{ap}{1-p}&n=0\\ \end{cases}$

其中

$p\in(0,1)$

，

$a\in(0,\frac{1-p}{p})$

。若認為生一個小孩的性別是（男女）隨機的，試求一個家庭有

（

$k\geq1$

）個男孩的機率。

值得注意的是這裡需要求一個級數的和。

解答

用

表示事件“家庭中有

個孩子”，

表示事件“家庭中有

個男孩”，由全機率公式

$\quad\begin{align} P(B_k)&=\sum_{n=k}^{\infty}P(A_n)P(B_k|A_n)\\[2ex]&=\sum_{i=k}^{\infty}p_n\cdot\binom{n}{k}(\frac{1}{2})^n\\[2ex]&=a\sum_{i=k}^{\infty}\binom{n}{k}(\frac{p}{2})^n \end{align}$

熟知的結果是

$\quad \sum_{i=k}^{\infty}\binom{n}{k}x^n=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$

（這個結果可以利用形式冪級數

$\sum_{n=1}^{\infty}x^n$

求

階導數得到）

因此易得

$P(B_k)=\frac{2ap^k}{(2-p)^{k+1}}$

例題2.6

有一種疾病

在一般人群種的發病率為0。005，有一種檢測

的手段準確率為0。98，即如果某人患有

，則檢測結果認為此人患有

的機率為0。98；但該檢測手段誤將未患有

的人誤判為患有

的機率為0。05。現有一人經過該檢測手段後的檢測結果認為此人患有

，試求此人真正患有

的機率。

利用貝葉斯公式。

解答

用

表示患有

，

表示檢測結果為患有

，我們要求的就是

。

由貝葉斯公式和全機率公式易得

$\quad P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}$

根據題意

就是發病率0。005，

就是檢測準確率0。98，

$P(B|\overline{A})$

等於0。05，從而可以算得

$\quad P(A|B)=\frac{0.0049}{0.0049+0.04975}\approx0.0897$

註記

也就是說，即使檢測準確率高達0。98，此人真正患有

的機率不足0。1，這是因為在一般人群中此病的發病率相對來說太低了，要使

也至少需要檢測準確率高於0。995。

例題2.7

甲、乙兩個袋中各裝有一黑一白兩個球，每次操作從兩袋中各取一球放入另一袋中，用

表示

次操作後甲中白球的數量，求

的機率。

提取資訊建立遞推公式，這類問題還是很常見的，比如直線上的隨機遊走問題就是這麼做的。值得注意的是對給定的正整數

，

是一個隨機變數。

解答

分別用

，

表示

的機率，顯然

$\quad p_0=r_0=0$

，

利用全機率公式易得

$\quad\begin{cases} p_{n+1}=0\cdot p_n+\frac{1}{4}\cdot q_n+0\cdot r_n\\[2ex] q_{n+1}=1\cdot p_n+\frac{1}{2}\cdot q_n+1\cdot r_n\\[2ex] r_{n+1}=0\cdot p_n+\frac{1}{4}\cdot q_n+0\cdot r_n\\[2ex] \end{cases}$

可能下面這種表達方式更加直觀：

$\begin{pmatrix} p_{n+1}\\ q_{n+1}\\ r_{n+1}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{4}&0\\ 1&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{4}&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{n}\\ q_{n}\\ r_{n}\\ \end{pmatrix}$

於是

$\begin{pmatrix} p_{n}\\ q_{n}\\ r_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{4}&0\\ 1&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{4}&0\\ \end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}$