實洛朗級數

呆哥在探究一些函式的性質時，想到：泰勒級數是用多項式來逼近函式從而放縮的。那麼是否可以用分式來逼近函式呢？答案是肯定的，因為帕德逼近即是用分式逼近。但是問題在於，帕德逼近的計算量非常巨大，非人工所能完成，其原因是帕德逼近需要滿足：

\forall m, n \in N, f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0)

其中

R(x)

為

f(x)

的

[m, n]

階帕德近似，

R(x)=\frac{\sum_{k=0}^{m} a_{k} x^{k}}{1+\sum_{x=1}^{n} b_{s} x^{s}}

，這需要解一個

n

元方程，因此只適合計算機逼近，且

e^{x}

的

[3,3]

階帕德近似為：

e^{x} \sim \frac{2 x^{2}+9 x+18}{2 x^{2}-9 x+18}

，精度其實是不如三階泰勒的。

這說明帕德近似並非我們最理想的手算函式分式近似方法。呆哥聯想到了洛朗級數，洛朗級數是雙邊冪級數，所以很有可能產生一個比較良好的分式逼近。但是實際上洛朗級數只能在複數域上的圓環域

R_{1}<\left|z-z_{0}\right|<R_{2}

內展開，所以我們必須做些變形進行實延拓，才能夠去把它展開成漸進分式。

現在我們使用的洛朗級數，並非複數域上的定義

f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\left(z-z_{0}\right)^{n} \oint_{C} \frac{f(l) d l}{\left(l-z_{0}\right)^{n+1}}}{2 \pi i}

，而是形如

\frac{1}{f(z)}

的實洛朗級數，這裡的

f(z)

必須有零點（實際上是極（奇）點，只針對

f(z)

來說才稱為零點）

具體怎麼展開呢，我們以展開

e^{x}

為例子，湊出

f(x)=e^{x}-x-1

，讓0變成

f(x)

的零點，那麼在0處就可以展開

\frac{1}{e^{x}-x-1}

的實洛朗級數。展開方法為在分母把超越函式用泰勒級數替換，再繼續用等比級數化成雙邊冪級數。為了方便大家閱讀，下面將以步驟化的形式展示出來：

［1］欲展開

e^{x}

，先湊零點，令

f(x)=e^{x}-x-1

湊0（實際為一級零點），再寫成

\frac{1}{e^{x}-x-1}

的形式

［2］利用

e^{x}

的泰勒級數

e^{x} \sim x+1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}

代入分母，化成

\frac{1}{\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}}

的形式，此時得到的分式就稱為實洛朗級數的最低項參考式，即最低次冪展開完畢。我們先把它繼續化成

\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{3}}

的形式。

［3］利用

\frac{1}{1-a x}

的等比展開

\frac{1}{1-a x} \sim 1+a x+(a x)^{2}

，繼續展開為

\frac{2}{x^{2}}\left(1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{9}\right)

，得到的即為實洛朗級數的某幾項，如此得到的實洛朗級數一定從最低次冪開始，如果最後一項出現常數（0次冪），說明［2］中用於替換的泰勒級數足夠展開到實洛朗級數的最低次冪，可認為實洛朗級數的漸進式（此漸進式是在用

e^{x} \sim x+1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}

展開分母的前提下）為：

\frac{1}{e^{x}-x-1} \sim \frac{2}{x^{2}}\left(1-\frac{x}{3}\right)

［4］將

e^{x}

單獨放到一側，其餘所有分式留在同側，即可得到

e^{x}

分式漸進參考式：

e^{x} \sim \frac{1}{\frac{2}{x^{2}}\left(1-\frac{x}{3}\right)}+x+1=-\frac{x^{2}+4 x+6}{2(x-3)}

，方向由自己證明，事實上x<3時有：

e^{x} \leq-\frac{x^{2}+4 x+6}{2(x-3)}

這裡的證明之後在單調性章節會給予方法證明。呆哥發現，如此一來得到的實洛朗級數，單純從

e^{x}

來看，比

[3,3]

階帕德近似的結果好，而且形式也比帕德近似稍好。所以我們如果需要用到分式漸進的話，實洛朗級數不失為一種可選取的方法，它相比帕德近似也減小了漸進式計算複雜度。

第二章 : 函式放縮問題●實洛朗級數

這種展開方法自由度其實是相當大的。但是，有一個問題要注意，它既取決於展開的形式，也取決於替換的泰勒級數的階數，所以一定要判階。比如

e^{x}

的展開，此處我們不湊成

e^{x}-x-1

，而是湊成

e^{x}-1

，用於替換的泰勒級數的階數減少一階，那麼結果就會發生變化，我們可以來嘗試一下：

\frac{1}{e^{x}-1} \sim \frac{1}{\frac{x^{2}}{2}+x}=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}} \sim \frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}\right)

這裡的常數項是第二項，只有一個負次冪，所以說明此處用於替換的泰勒級數

e^{x} \geq x+1+\frac{x^{2}}{2}

是不足以判斷常數是否展開完畢的，所以需要提高一價來判斷階數，即用

e^{x} \sim x+1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}

來判階：

\frac{1}{e^{x}-1} \sim \frac{1}{\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x}=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{6}} \sim \frac{1}{x}\left[1-\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{6}+\left(\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{6}\right)^{2}\right]

這裡的的判階說明當提高用於替換的泰勒級數的階數時，常數項不變，即常數已經在開始時已經展開完畢，所以即可得到近似式：

\frac{1}{e^{x}-1} \sim \frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}\right)

，即

e^{x} \sim \frac{1}{\frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}\right)}+1=\frac{2+x}{2-x}

方向由自己證明，事實上，x≤0時，有：

e^{x} \geq \frac{2+x}{2-x}, 0 \leq x<2

時，有：

e^{x} \leq \frac{2+x}{2-x}

各位讀者如果要使用實洛朗級數得到近似參考式，請一定要記住判階。判階的依據是我們所得到某一階的洛朗級數的下一階是否展開完畢，方法是用更高階的泰勒級數替換，然後等比展開看係數。

像上面的例子，可以看見我們用

e^{x} \sim x+1+\frac{x^{2}}{2}

展開時，最後一項（相當於級數一次項）

\frac{x^{2}}{4}

，但是用

e^{x} \sim x+1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}

展開時，卻是

\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{6}

，這也充分體現了用於替換的泰勒級數的階數對實洛朗級數的影響。如果這裡把三階的泰勒級數替換所得結果，當成二階的洛朗級數，肯定是不對的。

呆哥還展開了

\sin x, \cos x, \ln x

的實洛朗級數，有興趣的讀者可以記幾條？（開玩笑的）：

[1] x \geq 1 \text { 時 }, \text { 有 } \ln x \geq \frac{5(x-1)^{3}}{3(x+1)\left(x^{2}+8 x+1\right)}+\frac{2(x-1)}{x+1}

\text { [2] } 1 \leq x \leq 4 \text { 時 }, \text { 有 } \ln x \leq \frac{10(x-1)^{3}}{5 x^{3}+57 x^{2}+51 x+7}+\frac{2(x-1)}{x+1}

[3] x \geq 0 \text { 時 }, \text { 有 }: \sin x \geq \frac{60 x-7 x^{3}}{60+3 x^{2}}, x \leq 0 \text { 時，有 }: \sin x \leq \frac{60 x-7 x^{3}}{60+3 x^{2}}

[4] x \in R \text { 時 }, \text { 有： } \cos x \leq 1+\frac{3 x^{4}-60 x^{2}}{4 x^{2}+120}

\text { [5] } x \leq 0 \text { 時, 有 }: e^{x} \geq x+\frac{19 x^{2}-12 x+36}{x^{2}-12 x+36}, 0 \leq x \leq 3 \text { 時，有： } e^{x} \leq x+\frac{19 x^{2}-12 x+36}{x^{2}-12 x+36}

洛朗級數僅展開2階，就已經和6階泰勒級數的擬合程度等同，從漸進上來看不失為一種用分式良好逼近的方法，對於證明，有興趣的讀者可以自行嘗試，下面的內容中呆哥也會給出

\ln x

的證明。

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