盧健龍2016-06-08 12:11:38

謝邀。

有很清晰的幾何意義。

對於積分中的rdrdθ，可以將其看成兩部分相乘，分別是rdθ和dr。

rdθ是半徑乘以角度的微小變化量，於是得到沿著切向的變化量。

dr顯然是沿著徑向的變化量。

因此兩部分乘起來就得到極座標下面積的微元。

至於雅克比行列式，也是具有清晰的幾何意義的。

靈劍2016-07-09 03:33:27

先說平面極座標，它的積分微元是rdrdθ，這個幾何意義很明顯，我們以r和r+Δr為半徑，各畫一個圓，組成一個圓環；在圓環上的θ到θ+Δθ的角度上，切下來一個小塊。這個小塊近似於一個矩形，它的一條邊的長度是Δr，另一條邊的長度是rΔθ（因為要從圓心角轉化為弧長）。我們把整個極座標平面用這種先分成圓環、再把圓環切成小塊的方法，可以把極座標平面變成許多個小矩形的和，這樣就可以把極座標下的二重積分轉化為這些小矩形的累加，每個小矩形剛好可以表示為rdrdθ。

球極座標也是一樣的，我們在球面上畫出經線和緯線，經線和緯線在球面的區域性相互垂直，緯度θ到θ+Δθ、經度φ到φ+Δφ圍成一個小矩形，如果再沿著球的半徑挖進去一個從r到r+Δr的深度，就可以挖成一個近似的長方體。這個長方體的高度為Δr，寬度是兩個緯線圈的距離，由於是經線大圓的長度，始終是rΔθ；而長度是兩個經線圈的距離，這個距離在緯度不同的時候是不同的，我們都知道，相同經度差，在赤道上距離比較遠，在接近兩極的地方距離比較近，這是因為經線圈的距離與相應緯度上緯線圈的長度有關，而緯線圈在緯度不同時大小是不同的。所以長方體的長度應該是緯線圈半徑乘以Δφ，也就是rsinθΔφ。所以，積分的微元應該表示為

（圖片來自於網路，圖中的θ和φ與一般習慣的是相反的）

最後說說雅各比矩陣和雅各比行列式，對於任何的座標變換，在某個特定的座標點附近，這個座標變換總是可以近似表示為一個線性變換的，實際上是多元微分的近似公式：

這個

就是雅各比矩陣了，它是多元函式中每一個因變數關於每一個自變數的偏導數排成的矩陣。

用雅各比矩陣，我們可以用全微分公式，將變換前的微元與變換後的微元聯絡起來：

或者反過來

現在假設x是直角座標系，而y不是。我們在y座標系當中取一個微元，然後嘗試計算它的體積。這個微元可以在y座標系當中，將從原點出發的每條向量都用y座標表示，然後把列向量合寫成一個矩陣，變成：

由於y座標系不是直角座標系，下面的平行多面體並不能直接計算面積，所以我們要先把這個座標轉成x座標系下面的座標，只要乘上雅各比矩陣就行了：

是用x座標表示的平行多面體，由於x是直角座標系，計算它的體積只需要計算

就可以了。如果想不明白這一點，可以這麼考慮：

任何一個滿秩矩陣都可以透過施密特正交化轉化為一個對角線元素都為1的三角陣，和一個每個列向量都與其他向量正交的矩陣，這個過程實際上是不斷求出新的維度關於原來子空間的垂向量，這樣最終平行多面體的體積就是各個垂向量長度的乘積。我們將施密特正交化表示為：

，L為對角線元素都為1的三角陣，U為每個列向量都互相正交的矩陣，則

是個對角陣，每個對角元素都是U列向量的模的平方。所以

是U代表的長方體的體積的平方，也是原始平行多面體的體積的平方，所以

與平行多面體

的體積相等。而又有

，由於L是對角元素都為1的三角陣，所以

，所以

與平行多面體A的體積相等。

所以我們最終得到y座標當中微元的體積是

。由於

於是有

這就是多重積分換元時，雅各比行列式的來源。本質上來說跟我們之前討論極座標時方法是相同的，將微元近似為一個平行多面體，然後計算平行多面體的體積，然後用微元單位表示出來。

馬同學2017-05-20 14:57:11

關於這個問題，我覺得挺有意思的，進行了一番深入思考，先給出答案：

二次積分的每一次積分不一定有幾何意義。

我先來釐清下要討論的問題。

1 釐清問題

在

座標系下：

這種類似扇形的面積在

座標下不好求，所以一般都換到極座標下去求解，因此我們有公式如下：

其中

為

座標下的積分割槽域，

為極座標下的積分割槽域。

對於，重積分

，我們一般都可以劃為二次積分來進行計算：

2 先給一個直觀的回答

想想下面這樣一道簡單的物理題我們怎麼計算：

答案很簡單：

其實這個答案的計算方法有很多種：

上面的二次積分就可以進行這樣的類比：

所以，代數運算的計算方法有很多，我們沒有辦法要求所有的計算步驟都有明確的意義。

3 更深入一點的回答

3.1 不同積分割槽域下算出來的面積不同

要求這個圖形的面積：

所以我們把它換到

座標系：

可是我們就算透過肉眼，透過影象來判斷，大概也知道：

我們拿一個圓來算一下就知道了：

這種不相等是怎麼造成的呢？

打個不那麼恰當的比方，我在

座標系下計算時，好比使用的是“米”這個單位進行計算，但是在

座標系下計算時，卻使用的是“英尺”這個單位。

因此，在方便的

座標系下算出的面積，需要透過一次“單位換算”才能得到

座標系下的面積。

3.2 “單位換算”求解的思路

我們要搞的事情是：

我們需要一個“單位換算”的辦法。

之前我在我的回答中反覆說過，微積分的基本思想是“線性近似”，正是因為這一特點，讓這一複雜的問題變得簡單（所以說，可微的函式的性質是多麼良好啊）：

這就是求解的思路。

3.3 具體的計算

我們知道，行列式是線性變換的伸縮因子（可以參看我的回答： 行列式的本質是什麼？），因此我們可以得到下面的結論：

這個線性變換的

是多少呢？這就是雅可比矩陣：

計算下極座標的雅可比行列式是多少：

所以：

準確來講，

不過是線性變換的伸縮因子，而

代表弧長，具有幾何意義，不過是個巧合而已。

4 關於換元進一步的例子

前面我們說了，

不過是線性變換的伸縮因子，而

代表弧長，不過是個巧合而已。

下面我舉另外一個例子，就可以更清楚的看到這一點：

進行下面這樣的座標變換：

進而得出轉換的行列式：

因此有：

可以看出：

5 最後

可以自己拖動下圖中綠色的點，感受下在換元過程中，面積微分會如何變化：

此處有互動內容，點選此處前往操作。

Fuka Reventon2017-05-20 15:00:16

不管什麼座標積分變數代換的本質是吧非方格變成方格進行積分，同時在每一點處進行“調整”以保證在代換後的度量性質不變

劉梳子2018-08-17 10:20:30

積分的本質均是將大的積分割槽域，轉化成無限多小的積分割槽域，然後再相加，求極限。這個問題涉及到積分割槽域的劃分，怎麼劃分？只要較為方便的對問題求解就是好的積分割槽域劃分的方法。

整個思路，先講線性變數替換，再講非線性轉化成線性，最後講雅克比行列式，講清楚變數替換後二重積分的求解，極座標只不過是變數替換的一個特例

。

1。線性變數替換

在積分中做變數替換會使得計算大大簡化，先引入一個例子說明問題：

舉例1：計算一個橢圓面積，橢圓兩個半軸分別為a和b。

橢圓方程為：

上面的過程中最重要的是需要找到變數替換後（即面積元由uv座標系對映成xy座標系之間的關係），面積改變的比例，上述例子得到比例很簡單，但通常情況下，會比較複雜：

舉例2：

假設為了簡化積分或積分限，

需要變數替換u=3x-2y,v=x+y,需要找到兩個座標系下dA和dA’的關係。用正變換找到比例關係，當然用逆變換也可以。比如給出了u，v用x,y表示就用正變換；給出了x,y用u,v表達的數學式，用反變換找到面積元的比例關係。

兩個面積之間匯率是多少呢？

這個例子中用的是線性變換，因此找到線性變換的矩陣，求行列式的絕對值，便對應著面積的匯率。（大家都知道行列式對應著線性變換的面積匯率！）

實際變數替換後是將用的下面圖形：線上性變換後，用的是u,v作為直角座標系兩個變數，dA’=dudv（必須解耦合，否則不能進行二重積分啊！）,對映到xy座標系後，變成了平行四邊形，這也是我們在xy座標系下劃分積分割槽域時的劃分方法，對映到u,v座標系就是矩形了！找到面積比例關係即可。

2。更一般情況變數替換

通常情況下不是線性變換，面積匯率會隨著x，y不同而變化，但是我們固定一點後，在其周圍可以

進行線性近似，即以平面代替曲面（全微分）

。

這裡推匯出了變數替換求一般的情況，上面的Jacobian行列式很容易推廣到更高維。

舉例：

是時候重新看一下極座標系了：

可以看到

極座標系是變數替換的一個特殊情況

，

按照半徑和幅角劃分積分割槽域，對映到以r和theta為座標的直角座標系，只不過這種變數替換有一定的幾何意義。不用雅克比行列式也可看出積分割槽域如何用r和theta表示，其實用Jacobian行列式，可以進行任意的變數替換。

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