鋼筋混凝土_梁的彎矩曲率

根據

材料力學

的知識，一根承受豎向荷載的梁，它的彎曲曲率的數學意義等於豎向位移的二階微分，而曲率的物理意義是彎曲形狀的半徑的倒數。同樣，

彎矩

除以EI，就等於曲率。對於我們在入門的材料力學裡遇到的問題來說，EI 一般都是常數，所以彎矩和曲率之間是一條簡單的直線。而對於鋼筋混凝土梁，EI 就不再是常數了，隨著混凝土的逐漸開裂、鋼筋的受拉屈服，鋼筋混凝土梁的 EI 也在逐漸變化。所以，鋼筋混凝土梁的彎矩-曲率圖不再是一條直線。最簡化的分析，我們取三個關鍵點，將彎矩-曲率圖看作是三條線段組成的折線。這三個關鍵點分別是：

混凝土

開裂、鋼筋受拉屈服、混凝土受壓破壞。

對於鋼筋混凝土梁截面的受彎分析，有兩條基本原則。第一條是「幾何協調」，也就是「平截面假定」。截面在受彎變形之後依然保持為平截面，換言之，應變與離中性軸的距離成正比，受拉區和受壓區的應變圖是兩個相似

直角三角形

。

第二條準則是「

靜力平衡

」，也就是受壓區的總壓力 C 要等於受拉區的總拉力 T，同時，拉力或者壓力乘以內力臂 jd 要與外荷載的彎矩平衡。

第一條準則處理的是純幾何問題，或者可以說是應變問題；第二條準則應對的則是純力學問題，或者可以說是應力問題。這兩者之間的關聯也就是我們下面要關注的應力-應變關係。

在鋼筋混凝土截面受力分析中，我們採用的鋼筋應力應變是這樣的，先是一條斜線，斜線的斜率為鋼筋的彈性模量，斜線到達屈服點之後，就變為一條

水平直線

。而混凝土的應力-應變關係就沒有這麼簡單了，事實上它是一條曲線。在混凝土的壓應變達到極限壓應變的一半之前，我們可以近似的認為是一條斜線，斜率為混凝土的彈性模量。

對於鋼筋，實際的應力應變關係是左圖這樣的，但實際的混凝土構件中，由於不可能出現太大的變形，所以鋼筋不會出現很大的應變，因此，我們近似採用右邊的簡化關係。也就是忽略左圖中的曲線 cde，代之以直線 bc 的繼續延伸。

不同強度的混凝土的應力應變關係是左圖這樣的，為了應用於設計的工程分析和設計，我們需要用數學來描述這些曲線。如何把應力應變關係用簡潔的數學式子表達出來，這就是一個問題。基於實際的實驗結果，有很多不同的數學描述。比如右邊的 Hognestad 和 Todeschini。Todeschini 相對更為常用，因為它不是分段函式，而是用一個統一的式子來表達應力應變關係，處理起來更為方便。

這麼多的數學模型，規範到底採用的是哪種呢？上面的是 ACI318 的規範，簡單說，隨便你，只要你認為這種數學模型跟實際實驗結果比較吻合。下面的是 GB50010 的規定，給出了具體的數學表示式，採用的是改進的 Rusch 模型，分段函式，第一段是曲線，第二段是水平直線。

這裡也可以體現出一點小差異，很多時候，ACI318 給的是要求和建議，而 GB 規範給的是具體的規定。比如這個應力應變關係，ACI 給的是可以採用任何數學模型，只要跟實驗結果吻合較好即可，這樣，新出現的研究結果可以隨時應用到實際工程中。而 GB 給的是直接的 Rusch 模型，就這樣定死了，新的研究結果要想用到實際工程中，只能能下一版規範的修訂了。