內容提要:

1 擬緊性; 2 清醒性; 3 譜空間; 本文主要參考文獻.

更多內容，請移步專欄目錄:

注

： 本文所涉及的環皆為

交換么環.

1 擬緊性

1-1. [擬緊性]

X

為拓撲空間。 我們稱

X

擬緊如果每個開覆蓋有有限子覆蓋。

1-2. [擬緊射]

我們稱連續對映

f : X \rightarrow Y

為擬緊射， 如果每個

Y

的擬緊開子集的原像為擬緊的。

1-3. [擬分離性]

我們稱

X

為

擬分離

的， 如果對角嵌入

X \rightarrow X \times X

為擬緊射。 這意味著對所有的

X

的擬緊開子集

U

和

V

， 我們有

U\cap V

擬緊。

1-4. [例子]

A

為環。 那麼

\mathsf{Spec}(A)

的開子集

U

為擬緊的當且僅當存在

A

的有限生成理想

I

使得

U = \mathsf{Spec}(A) − \mathbb{V} (I).

1-5. [擬緊性驗證]

如果

Y

有一個

擬緊開

的拓撲基， 那麼為了驗證連續對映

f : X \rightarrow Y

擬緊， 只需對這個拓撲基中的每個

U

驗證

f^{-1}(U)

為擬緊的。

1-6.

如果

X

有一個擬緊開的拓撲基

\mathcal{B}

， 且如果

U, V\in \mathcal{B}

則

U \cap V\in \mathcal{B}

， 那麼

X

擬分離。

2 清醒性

2-1. [不可約空間]

我們稱

X

不可約

如果每當

X = Y \cup Z

， 其中

Y, Z

為閉子集， 則有

X = Y

或者

X = Z.

[小事實]

不可約拓撲空間的開子集都是稠密的。

[證明]

如果

U

是開的，

Z=X-U

閉， 而

X = \overline U \cup Z

。 由此得出結論。

[小事實]

不可約拓撲空間的開子集都是不可約的。

[證明]

如果

Z

不可約，

U

是開子集， 反證假設

U

可約， 那麼

U= (U\cap Z_1)\cup (U\cap Z_2)

， 其中

Z_1

，

Z_2

是

Z

的兩個閉子集。 取閉包得到

\begin{equation*} Z= \overline U = \overline{U\cap Z_1}\cup \overline{U\cap Z_2} \end{equation*}

。 由此得證。

2-2. [閉點]

我們稱

x \in X

為

閉點

如果

\{x \}

為閉集。

2-3. [廣點]

我們稱

x \in X

為一般點或者

廣點

如果

X= \overline{\{x \}}.

2-4. [

T_0

, 擬清醒, 清醒]

X

為拓撲空間。

（1） 我們稱

X

為

#FormatImgID_49# 空間

， 如果

x\mapsto \overline{\{x\}}

是

X

到不可約閉子集的單射。

（2） 我們稱

X

為

擬清醒(quasi sober)空間,

如果

x\mapsto \overline{\{x\}}

是

X

到不可約閉子集的滿射。

（3） 我們稱

X

為

清醒(sober)空間,

如果

x\mapsto \overline{\{x\}}

是

X

到不可約閉子集的雙射。

2-5. [清醒性與開覆蓋]

\{X_i\}_{i\in I}

是

X

的開覆蓋。 那麼

（1） 如果每個

X_i

是擬清醒的， 那麼

X

是擬清醒的。

（2） 如果每個

X_i

是

T_0

的， 那麼

X

是

T_0

的。

（3） 如果每個

X_i

是清醒的， 那麼

X

是清醒的。

[證明]

如果每個

X_i

是擬清醒的。 如果

Y\ne \emptyset

是

X

的不可約閉子集。 於是存在某個

i

使得

X_i \cap Y \ne \emptyset

。

因為

X_i

是

X

的開子集。 於是

X_i \cap Y

是

Y

的非空開子集， 於是

X_i \cap Y

是

Y

的不可約子集， 並且在

Y

中稠密。

由此也有

X_i \cap Y

是

X_i

的非空不可約閉子集，

由於

X_i

是擬清醒的， 所以存在

x\in X_i \cap Y

使得

\begin{equation*} X_i \cap Y = \overline{\{x\}} \cap X_i \subset \overline{\{x\}}. \end{equation*}

又由於

X_i \cap Y

在

Y

中稠密。 而

Y

又在

X

中閉。 所以

\begin{equation*} Y= \overline{X_i \cap Y} \cap Y \subset \overline{X_i \cap Y} \subset \overline{\{x\}} \subset Y. \end{equation*}

因此

Y= \overline{\{x\}}

， 這說明了

X

是擬清醒的。

（2） 這是顯然的。

（3） 這是（1）和（2）的推論。

\square

2-6. [特殊化與一般化]

對於

x, y \in X,

我們稱

x

為

y

的

特殊化

（specialization） 或者

y

為

x

的

一般化

（generization） 如果

x \in \overline{\{y\}}.

3 譜空間

3-1. [譜空間]

我們稱

X

為

譜空間(spectral space)

如果它滿足以下所有條件：

（a）

X

擬緊擬分離；

（b）

X

有一個擬緊開的拓撲基；

（c）

X

為清醒空間。

3-2. [區域性譜空間]

我們稱

X

為

區域性譜空間

如果它有由譜空間構成的開覆蓋。

3-3.

以下結論是容易而重要的：

（1） 區域性譜空間是清醒的。

（2） 區域性譜空間是譜空間當且僅當它是擬緊擬分離的。

（3） 如果

X

為清醒空間，那麼它的每一個區域性閉子集是清醒的。

（4） 如果

X

為譜空間，那麼它的每一個擬緊開子空間是譜空間。

（5） 如果

X

為譜空間，那麼它的每一個閉子空間是譜空間。

（6） 如果

X

為區域性譜空間，那麼它的每一個開子空間是區域性譜空間。

（7） 如果

X

為區域性譜空間，那麼它有由開的譜空間構成的拓撲基。

本文主要參考文獻