命題.

任何一組實數

x_1,x_2,\dots,x_n

,有如下不等式

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i-x_j\big|\leq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i+x_j\big|\\

證明

採用歸納法

n=2

\begin{align} \mathrm{RHS}&=2\big|x_1\big|+2\big|x_1+x_2\big|+2\big|x_2\big|\\ &=2\big|x_1\big|+2\big|x_2\big|+2\big|x_1+x_2\big|\\ &\geq2\big|x_1-x_2\big|=\mathrm{LHS} \end{align}\\

假設

2n

時滿足不等式,下證

2n+1

2n+2

時成立

2n+1

不妨設

x_1\leq\cdots \leq x_n\leq\ x\leq x_{n+1}\leq \cdots \leq x_{2n}\\

由假設知

\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i-x_j\big|\leq\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i+x_j\big|\\

\begin{align} \mathrm{RHS}&=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i+x_j\big|+2\big|x\big|+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x+x_i\big|+\big|x+x_{n+i}\big|\right)\\ &\geq\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i-x_j\big|+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x_{n+i}-x_i\big|\right)\\ &=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i-x_j\big|+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x-x_i\big|+\big|x-x_{n+i}\big|\right)\\ &=\mathrm{LHS} \end{align}\\

2n+2

不妨設

x_1\leq \cdots\leq x_n\leq x\leq y\leq x_{n+1}\leq\cdots \leq x_{2n}\\

2n+1

情況證明可知

2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x+x_i\big|+\big|x+x_{n+i}\big|\right)\geq2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x-x_i\big|+\big|x-x_{n+i}\big|\right)\\

2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|y+x_i\big|+\big|y+x_{n+i}\big|\right)\geq2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|y-x_i\big|+\big|y-x_{n+i}\big|\right)\\

2\big|x\big|+2\big|y\big|+2\big|x+y\big|\geq2\big|x-y\big|

,同時根據假設得

\begin{align} \mathrm{RHS}&=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i+x_j\big|+2\big|x\big|+2\big|y\big|+2\big|x+y\big|\\&+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x+x_i\big|+\big|x+x_{n+i}\big|\right)+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|y+x_i\big|+\big|y+x_{n+i}\big|\right)\\ &\geq \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}\big|x_i-x_j\big|+2\big|x-y\big|\\ &+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|x-x_i\big|+\big|x-x_{n+i}\big|\right)+2\sum_{i=1}^{n}\left(\big|y-x_i\big|+\big|y-x_{n+i}\big|\right)\\ &=\mathrm{LHS} \end{align}\\

由此可知原命題成立。

推廣1 .

任何一組實數

x_1,x_2,\dots,x_n

,有如下不等式

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i+x_j\big|\geq n\sum_{i=1}^{n}\big|x_i\big|\\

證明

由命題可知

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i+x_j\big|\geq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i-x_j\big|\\

由此

\begin{align} 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i+x_j\big|&\geq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\big|x_i-x_j\big|+\big|x_i+x_j\big|\right)\\ &\geq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|x_i-x_j+x_i+x_j\big|\\ &=2n\sum_{i=1}^{n}\big|x_i\big| \end{align}

題目得證。

推廣2

f(x)\in C\left[0,1\right]

,有不等式

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left|f\left(x\right)+f\left(y\right)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y\geq\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\

證明

根據條件,函式

|f\left(x\right)+f\left(y\right)\big|

在有界閉區域

D=\{\left(x,y\right)\big|0\leq x \leq 1,0\leq y \leq 1\}

上可積。

x_i=f\left(\xi_i\right),\xi_i\in\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right),i=1,2,\cdots,n

代入命題可得

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|f\left(\xi_i\right)+f\left(\xi_j\right)\big|{\frac{1}{n^2}}\geq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\big|f\left(\xi_i\right)-f\left(\xi_j\right)\big|{\frac{1}{n^2}}\\

n\rightarrow+\infty

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big|f\left(x\right)+f\left(y\right)\big|\mathrm{d}x\mathrm{d}y\geq\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big|f\left(x\right)-f\left(y\right)\big|\mathrm{d}x\mathrm{d}y

推廣3

f(x)\in C\left[0,1\right]

,有不等式

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big|f\left(x\right)+f\left(y\right)\big|\mathrm{d}x\mathrm{d}y\geq\int_{0}^{1}\big|f\left(x\right)\big|\mathrm{d}x\\

證明

仿照推廣1證明方法,用推廣2易證。

推廣4

設函式

\varphi\left(x\right)

\left[0,+\infty\right)

上的連續非負上凸函式且滿足

\varphi\left(0\right)=0

,對任何一組實數

x_1,x_2,\dots,x_n

,有如下不等式

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi\left(\big|x_i+x_j\big|\right)\geq\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi\left(\big|x_i-x_j\big|\right)\\

證明

首先證明函式

\varphi\left( x \right)

\left[0,+\infty\right)

上單調遞增

運用反證法,假設

\exists x,y\in\left[0,+\infty\right),x<y

,有

\varphi\left( x \right)>\varphi\left( y \right)

由於

\varphi\left( x \right)

為上凸函式,當

x<y<z

時,有如下不等式

\frac{\varphi\left( x \right)-\varphi\left( y \right)}{x-y}\geq\frac{\varphi\left( z \right)-\varphi\left( y \right)}{z-y}\\

所以

\varphi\left( z \right)\leq\varphi\left( y \right) +\frac{\varphi\left( x \right)-\varphi\left( y \right)}{x-y}(z-y)

由於

\frac{\varphi\left( x \right)-\varphi\left( y \right)}{x-y}<0

故當

z>y-\frac{x-y}{\varphi\left( x \right)-\varphi\left( y \right)}\varphi\left( y \right)

時,

\varphi\left( z \right)<0

矛盾!

故函式單調遞增。

n=1

時,顯然有

\varphi\left( \left| 2x_1 \right| \right)\geq\varphi\left( 0 \right)

成立

n\geq 2

,假設從

1,2,\cdots,n-1

時不等式均成立。

注意到當每個

x_i

都加上一個實數

\varepsilon

時,不等式右側不變,

我們考慮

\min_{1\leq i ,j\leq n}\left|x_i-x_j\right|>0

的情形,當

2\left|\varepsilon\right|<\min_{1\leq i,j\leq n}\left|x_i-x_j\right|

時,不等式左側可表示為關於

\varepsilon

函式

\phi\left( \varepsilon \right)=\sum_{x\in X}\varphi\left( x+2\varepsilon \right)+\sum_{y\in Y}\varphi\left( -y-2\varepsilon \right)\\

其中

X

\{x_i+x_j\big|1\leq i \leq n,1\leq j \leq n\}

中不小於

0

的數所構成的可重集,

Y

為其中小於

0

的數所構成的可重集。

於是,

\phi\left( \varepsilon \right)

為上凸函式,則

\phi

均為單調遞減函式,

\phi

因此,當

\phi

時,對

\varepsilon\leq0

,有

\phi

;當

\phi

,對

\varepsilon\geq0

,有

\phi

因此,可選取適當的

\varepsilon

,使得所有實數加上後,不等式右側不增,且調整後存在某組

\left( i,j \right)

滿足

x_i+x_j=0

i=j

,不妨設

i=j=n

,則

x_n=0

,此時

\begin{align} \mathrm{LHS}=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}\varphi\left( \left| x_i+x_j \right| \right)+2\sum_{i=1}^{n-1}\varphi\left( \left| x_i \right| \right)\\ \mathrm{RHS}=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}\varphi\left( \left| x_i-x_j \right| \right)+2\sum_{i=1}^{n-1}\varphi\left( \left| x_i \right| \right)\\  \end{align}\\

於是由

n-1

假設可知成立

i\ne j

,不妨設

i=n-1,j=n

,此時

\begin{align} \mathrm{LHS}=\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\varphi\left( \left| x_i+x_j \right| \right)+2\sum_{i=1}^{n-2}\left[ \varphi\left( \left| x_i-x_n \right| \right)+ \varphi\left( \left| x_i+x_n \right| \right) \right]+2\varphi\left( \left| x_n \right| \right)\\ \mathrm{RHS}=\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\varphi\left( \left| x_i-x_j \right| \right)+2\sum_{i=1}^{n-2}\left[ \varphi\left( \left| x_i-x_n \right| \right)+ \varphi\left( \left| x_i+x_n \right| \right) \right]+2\varphi\left( \left| x_n \right| \right)\\ \end{align}\\

於是由

n-2

假設可知成立

綜上不等式成立。

推廣5

設函式

\varphi\left(x\right)

\left[0,+\infty\right)

上的連續非負上凸函式且滿足

\varphi\left(0\right)=0

f\left( x \right)\in C\left[ 0,1 \right]

,有如下不等式

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\varphi\left( \left| f\left( x \right)+f\left( y \right) \right| \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\geq\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\varphi\left( \left| f\left( x \right)-f\left( y \right) \right| \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\

證明

仿照推廣2的證明運用推廣4即可得證