一道不等式引發的一系列探索
強氣冷巫師 發表于 娛樂2021-08-27
命題.
任何一組實數
,有如下不等式
證明
採用歸納法
時
假設
時滿足不等式,下證
和
時成立
對
不妨設
由假設知
則
對
不妨設
由
情況證明可知
又
,同時根據假設得
由此可知原命題成立。
推廣1 .
任何一組實數
,有如下不等式
證明
由命題可知
由此
題目得證。
推廣2
設
,有不等式
證明
根據條件,函式
在有界閉區域
上可積。
取
,
代入命題可得
令
有
推廣3
設
,有不等式
證明
仿照推廣1證明方法,用推廣2易證。
推廣4
設函式
是
上的連續非負上凸函式且滿足
,對任何一組實數
,有如下不等式
證明
首先證明函式
在
上單調遞增
運用反證法,假設
,有
。
由於
為上凸函式,當
時,有如下不等式
所以
由於
故當
時,
矛盾!
故函式單調遞增。
當
時,顯然有
成立
設
,假設從
時不等式均成立。
注意到當每個
都加上一個實數
時,不等式右側不變,
我們考慮
的情形,當
時,不等式左側可表示為關於
函式
其中
為
中不小於
的數所構成的可重集,
為其中小於
的數所構成的可重集。
於是,
為上凸函式,則
均為單調遞減函式,
因此,當
時,對
,有
;當
,對
,有
。
因此,可選取適當的
,使得所有實數加上後,不等式右側不增,且調整後存在某組
滿足
。
若
,不妨設
,則
,此時
於是由
假設可知成立
若
,不妨設
,此時
於是由
假設可知成立
綜上不等式成立。
推廣5
設函式
是
上的連續非負上凸函式且滿足
,
,有如下不等式
證明
仿照推廣2的證明運用推廣4即可得證