如何理解函式定積分的影象等於原函式的值？

Rabbyt2018-09-27 19:06:12

數學不好，講講歷史

這大概要從牛頓和萊布尼茲說起

牛頓是早期喜歡搞物理，發現對位移求導是速度，對速度求導是加速度。

然後他搞數學也這樣幹，對面積（曲線與x軸圍成的面積）求導，然後發現求出的是那條曲線。

所以，牛頓得出結論，面積的導數是曲線，曲線的原函式是面積。

即微積分第一基本定律：

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(x)dx = f(x)$

但牛頓在求導過程中使用了無窮小量這一概念，是極其不嚴謹的，也導致了後來的第二次數學危機，後來人們基於極限重建了微積分學。牛頓的微積分也叫古典微積分，要是牛頓晚期沒跑去研究神學，說不定能制止第二次數學危機呢。

最後附上附贈表情包

無內鬼2018-09-28 02:41:40

你可以嘗試著從變限積分的角度去理解

Kushim Jiang2018-10-14 23:44:58

前面說過，對於

，已知

求

的過程叫做求導，那麼已知

求

的過程便是

求積分

，

稱為

的一個

原函式

，記作

$f(x)=D^{-1}[g(x)]$

。

注意到

，則

$D^{-1}(0)=C$

，定

$D^{-1}(0)=0$

。這樣對任意函式總有

$D[D^{-1}f(x)]=f(x)$

，對任意常數項為 0 的函式還有

$D^{-1}[Df(x)]=f(x)$

。比如對於

，

$D^{-1}[D(x^2)]=D^{-1}[2x]=x^2$

。而對於

，

$D^{-1}[D(x^2+1)]=D^{-1}[2x]=x^2$

。

接下來我們用它來解決兩個問題。

第一，找出符合

的所有

。由於

，容易得知所有的

便可寫為

$D^{-1}[g(x)]+C$

，記作

$\int g=D^{-1}g+C$

，稱為

的

不定積分

。這樣，依據前一章末尾的總結，便有：

$\begin{align} \int 0&=C,\\\int x^n&=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ (\mathrm{for}\ n\in\mathbb N),\\ \int e^{x}&=(e^x-1)+C=e^x+C,\\\int a^x&=\left(\frac1{\ln a}a^x-\frac1{\ln a}\right)+C$

這樣，求導數的列表和求不定積分的列表便有了完美的一一對應關係。

第二，為了解決常數項不為 0 的情況，我們可以透過作差使其轉為常數為 0 的函式。考慮一個常數項不為 0 的

$\tilde f=f+n$

，其中

的常數項為 0，

為常數項，則有：

$\begin{align} \tilde f(b)-\tilde f(a)&=[f(b)+n]-[f(a)+n]\\ &=f(b)-f(a)\\ &=D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=b} -D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=a}\tag{2}\end{align}$

另外，

$\begin{align} &\ \ \ \ \ D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|^{x=b}_{x=a}\\ &=D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=b}-D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=a}\\ &=\left(D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=b}+C\right)-\left(D^{-1}\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=a}+C\right)\\ &=\boxed{\int\left.\left[D\tilde f(x)\right]\right|_{x=a}^{x=b}=\tilde f(b)-\tilde f(a)}\tag{3} \end{align}$