與對偶空間概念關係密切的是點列的弱收斂和泛函列的弱*收斂。

本節目錄

（1）。 弱收斂

（2）。 弱*收斂

（3）。 運算元拓撲

弱收斂

以下設

X

是賦範線性空間。

定義 7.1.1

對於

X

中的點列

\{x_n\}

， 若存在

x\in X

使得對任意

f\in X^*

都有

f(x_n)

（按範數）收斂到

f(x)

， 則稱

\{x_n\}

弱收斂到

x

， 記作

x_n\overset{W}\to x

。

顯然點列按範數收斂蘊含弱收斂。 與弱收斂相對， 有時也稱依範數收斂為強收斂， 顯然強收斂蘊含弱收斂， 而反之則不然（反例可以考慮

l^2

的Hilbert基

\{e_n\}

，

e_n

除了第n個位置為1其餘為0， 則

e_n\overset{W}\to 0

但不依範數收斂）。

註記

在一部分特殊的空間中弱收斂等價於強收斂， 如有限維的賦範線性空間和

l^1

空間等等。

思考

賦範線性空間中的柯西列一定弱收斂嗎？

定理 7.1.2

若

X

中的點列

\{x_n\}

弱收斂到

x

和

y

， 則

x=y

。

證明

假設

x\ne y

， 則只需說明存在

f\in X^*

使得

f(x)\ne f(y)

即可， 而由推論5。2。1， 可取

f\in X^*

滿足

\quad f(x-y)=||x-y||\ne 0

從而矛盾。

即弱收斂意義下的極限（若存在則）是唯一的， 有時稱為弱極限。

定理 7.1.3

若

X

中的序列

\{x_n\}

弱收斂， 則

\{x_n\}

有界。

證明

將

x_n

看作

X^{**}

中的元素（見上一節）， 則由弱收斂定義可知對任意

f\in X^*

， 序列

\{x_n(f)\}

有界， 從而由共鳴定理可知

\{x_n\}

有界。

定理 7.1.4

若

X

中的序列

\{x_n\}

有界， 且存在

X^*

的稠密子集

G

使得對任意

f\in G

都有

f(x_n)

（按範數）收斂到

f(x)

， 則

x_n\overset{W}\to x

。

證明

設

||x_n||<M

且

||x||<M

， 取

f\in X^*

， 則對任意

\varepsilon>0

， 存在

g\in G

使得

\quad ||f-g||<\varepsilon

由條件， 存在

N

使得當

n>N

時

\quad ||g(x_n)-g(x)||<\varepsilon

這樣

\quad \begin{align} &||f(x_n)-f(x)||\\=&||f(x_n)-g(x_n)+g(x_n)-g(x)+g(x)-f(x)||\\ \leq&||(f-g)(x_n)||+||g(x_n)-g(x)||+||(g-f)(x)||\\ \leq&||f-g||\cdot M+\varepsilon+||g-f||\cdot M\\ \leq&(2M+1)\varepsilon \end{align}

因此

x_n\overset{W}\to x

。

思考

條件“

\{x_n\}

有界”可以去掉嗎？

該定理可以用於刻畫一類可分Banach空間中弱收斂。

例子 7.1.5

C[a,b]

中的序列

\{x_n\}

弱收斂到

x

當且僅當函式列

\{x_n\}

一致有界且逐點收斂到

x

。

證明

當

\{x_n\}

弱收斂到

x

時， 由定理6。3。3，

\{x_n\}

一致有界。

考慮賦值泛函

\delta_t(x)=x(t)

， 易得

\delta_t\in C[a,b]^*

， 這時由

\delta_t(x_n)\to\delta_t(x)

可得

\{x_n\}

逐點收斂到

x

。

反過來， 由上節例子6。1。2， 對任意

f\in C[a,b]^*

存在有界變差函式

v

使得

\quad f(x)=\int_a^bx(t)\mathrm{d}v(t)

由（L-S積分中的）控制收斂定理， 自然有

f(x_n)\to f(x)

從而

x_n\overset{W}\to x

。

類似地也可以考慮

L^p

空間中的弱收斂。

關於弱收斂的更深入的討論需要在拓撲線性空間相關理論中進行， 弱收斂本質上是弱拓撲（使得一切有界線性泛函連續的最粗拓撲）意義下的收斂。

弱*收斂

仍設

X

是賦範線性空間。

定義 7.2.1

對於

X^*

中的序列

\{f_n\}

， 若存在

f\in X^*

使得對任意

x\in X

都有

f_n(x)

（按範數）收斂到

f(x)

， 則稱

\{f_n\}

弱*收斂到

x

， 記作

f_n\overset{W^*}\to f

。

顯然有

定理 7.2.2

若

X^*

中的序列

\{f_n\}

弱*收斂到

g

和

h

， 則

g=h

。

即弱*收斂意義下的極限（若存在則）是唯一的。

自然，

X^*

中的序列也可以考慮弱收斂， 事實上我們有

定理 7.2.3

若

X^*

中的序列

\{f_n\}

弱收斂， 則

\{f_n\}

弱*收斂。

這是因為將

x\in X

看作

X^{**}

中的元素， 則

\quad x(f_n)\to x(f)

也即

\quad f_n(x)\to f(x)

該結論的逆未必成立。 反例可以考慮

l^1

作為

c_0

（所有收斂於0的實數列的空間， 看作

l^\infty

的子空間）的對偶空間時， 設

e_n

除了第n個位置為1其餘為0， 則

e_n\overset{W^*}\to 0

， 但考慮

l^\infty

， 看作

l^1

的對偶空間時， 取

e=(1,1,...)

， 則

e(e_n)=1

。

儘管上述結論的逆不成立， 但顯然有

定理 7.2.4

若

X

是自反空間， 則

\{f_n\}

弱*收斂蘊含

\{f_n\}

弱收斂。

X

自反保證了定理7。2。3中的推理能反過來進行。

一個自然的疑問是， 弱*收斂的序列一定有界嗎？

定理 7.2.5

若

X

是Banach空間， 則

X^*

中弱*收斂的序列有界。

對任意給定的

x\in X

， 由

f_n(x)

收斂可知

|f_n(x)|

有界， 從而由共鳴定理，

||f_n||

有界。

思考

條件“

X

是Banach空間”能去掉嗎？

而類似定理7。1。4我們有

定理 7.2.6

設

X

是Banach空間， 則

X^*

中的序列

\{f_n\}

弱*收斂於

f

當且僅當

||f_n||

有界且存在

X

的稠密子集

G

使得對任意

x\in G

都有

f_n(x)\to f(x)

。

弱*收斂的進一步討論亦需要在拓撲線性空間的框架中進行。

運算元拓撲

對於給定賦範線性空間

X,Y

， 空間

B(X,Y)

上自然定義了運算元範數， 由運算元範數誘導了

範數拓撲

或

一致運算元拓撲

， 在這個意義下定義了所謂的

按運算元範數收斂

或

按一致運算元拓撲收斂

（有時簡稱一致收斂）。

而

強運算元拓撲

是由一族半範數誘導的區域性凸拓撲（這要在拓撲線性空間理論中學習）， 這個意義下的收斂即通常意義下的逐點收斂， 也稱

按強運算元拓撲收斂

， 有時簡稱強收斂。

弱運算元拓撲

也是由一族半範數誘導的區域性凸拓撲， 在這個意義下的收斂性稱為

按弱運算元拓撲收斂

， 有時簡稱弱收斂。 運算元列

\{T_n\}

按弱運算元拓撲收斂當且僅當對任意

f\in Y^*

，

\{T_n^*f\}

按強運算元拓撲收斂。

一些泛函分析的教材上都採用簡稱， 即用一致收斂、強收斂、弱收斂， 這可能會引發歧義。