MP129：從微分幾何到代數幾何（1）：函式層

MP133：從微分幾何到代數幾何（2）：多項式環素譜上的Zariski拓撲

MP138：從微分幾何到代數幾何（3）：函式環

MP139：從微分幾何到代數幾何（4）：Hilbert零點定理

MP140：從微分幾何到代數幾何（5）：概形

以上從微分幾何到代數幾何，類比微分流形的方式建立了概形。此外，還可以從微分流形上的向量叢，過渡到代數幾何的上同調理論。向量叢的構建過程紮根於最初的拓撲學：

流形

拓撲空間透過粘合建立了點的等價關係，以及拓撲商空間：［尤承業］

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

通常拓撲流形及其座標系統有如下的區域性定義：

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

［Chern］

結合商空間，我們可以從整體觀念看待拓撲流形：歐式空間的若干個複本，透過粘合對映的方式構成的商空間就是拓撲流形。在相鄰座標卡的交集上產生了點的等價，同時帶來的問題就是等價點在相鄰座標卡上的座標變換問題：

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

［Chern］

座標變換的雙向可逆，及函式的分析行要求，如連續、可微、光滑，構成了座標卡的

相容(compatible)

結構，對應著流形的各種分析性質，產生了微分幾何。

纖維叢

纖維叢往往定義為一個區域性乘積空間，可以連續滿射

\pi: E \to X

到底空間。

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

［wiki］

平凡(trivial)

的條件，指的是纖維叢可以透過簡單的直積

E = X \times F

來做投射

\pi: E = X \times F \to X

，這樣就有了標準纖維

F

，它常常是一個張量，用於構造微分流形

X

上的各種張量叢。

向量叢

標準纖維為向量空間的情況特別值得討論，它構成了向量叢的理論。重要原因之一在於線性空間範疇中的自同構，也就是一般線性群的研究構成了群表示論的基礎。在前面流形的回顧中，注意到相交座標卡之間的座標函式轉換問題，概括而論：

開覆蓋之交集：拓撲中的粘合等價

座標卡之交集：微分流形中的相容結構

開覆蓋的截面之轉換：向量叢的G-群

從拓撲商空間，到微分流形座標卡，到向量叢的G-群，是逐步新增數學結構的過程。

叢的構造視為不交併。若鄰近的開集相交處有兩點

(p,v) \in U_i \times V

和

(p, v^\prime) \in U_j \times V

，雖然根據拓撲的粘合對映它們在底空間是同一點，但需要考慮標準纖維上兩個向量的等價關係

v \sim v^\prime

。考慮

V

上的變換群

G

，由於可逆和線性的要求通常要求

G

是一般線性群

G = \text{GL}(n,K)

或者其子Lie群，即用某種可逆線性變換群將

v

和

v^\prime

聯絡起來。對於鄰近的開集可以在交集上定義

轉移函式(transition function)

\begin{align} g_{ij}: U_i \cap U_j &\to G \\ p &\mapsto g_{ij}(p) \end{align} \\

它是標準纖維上的線性自態射：

\begin{align} g_{ij}(p): V &\to V \\ v &\mapsto \big(g_{ij}(p)\big)(v) \end{align} \\

當滿足

v = g_{ij}v^\prime = \big(g_{ij}(p)\big)(v^\prime)

時，建立了

v \sim v^\prime

的關係，這兩點相當於等同。等價關係要求變換群的可逆，於是自然地讓變換群放置在一般線性群或者Lie群的框架下研究，這樣構造的向量叢為

G-叢(G-bundle)

。在規範理論中，一個標準纖維

V

和作用其上的規範變換群

G

，可以在流形

M

上相應構造G-叢，而場就是

G

-叢上的

截面(section)

。

MP141：從向量叢到上同調(1)：向量叢

［Baez1994］

向量叢的構建還要求以上的條件，使得指標的迴圈構成了複合變換群退化為恆同，這個條件稱為

上閉鏈(cocycle)

條件。它暗示覆蓋的交集部分蘊含著拓撲資訊，可以透過有序指標的代數方法來討論；而上閉鏈強烈提示我們這裡打開了通向上同調理論的大門。