我想用這一個“數學手冊”系列來記錄自己在學習物理過程中遇到的數學問題，同時也很樂意分享給大家，如果有錯也請多多批評。

Levi-Civita符號，是我在看曾謹言的《量子力學（上）》Ch。4中遇到的，書上和百度百科說是一種符號，不過我更傾向於把它理解為一種張量，雖然現在張量也只是學了個皮毛，不過接下來我會嘗試按照張量的形式去寫一下，後續Levi-Civita符號將會用

\varepsilon

代替，用

i,j,k

等下標來指代分量。

首先是Levi-Civita張量的一個很重要的性質

①交換任意兩個指標，元素變號，即

\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}

由此就可以推出：如果有兩個下標相同則元素為0

透過定義其他元素的值就可以算出所有分量的值。在這裡定義下標構成的排序，其逆序數為偶數的話，元素的值為1；逆序數為奇數的話則為-1，即

\varepsilon_{123}=\varepsilon_{231}=\varepsilon_{312}=1

\varepsilon_{132}=\varepsilon_{213}=\varepsilon_{321}=-1

這樣的各個元素就全部都算了出來。

在笛卡爾座標系中，如果一個向量

C=A\times B

是另外兩個向量的叉乘，其

x

方向的分量為

C_x=A_yB_z-A_zB_y

我們用

1,2,3

來

x,y,z

表示，向量和張量用

A_a,\varepsilon_{abc}

代替，具體分量用

A_\mu,\varepsilon_{\mu\nu\gamma}

代替，採用愛因斯坦求和規則，這樣就可以用張量和向量的縮並來表示叉乘，即

C_c=\varepsilon_{abc}A_aB_b

這種做法也可以應用到量子力學當中，現在我在算符的運算以及對易式中見過，例如

\hat{L_c}=(\hat{r}\times \hat{p})_c=\varepsilon_{abc}r_ap_b

[\hat{L}_a,\hat{r}_b]=i\hbar \varepsilon_{abc}r_c

運算性質

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{def}= \left| \begin{matrix} \delta^a_d & \delta^a_e& \delta^a_f \\\delta^b_d & \delta^b_e& \delta^b_f \\\delta^c_d & \delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right |

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{aef}= \left| \begin {matrix} \delta^b_e & \delta^b_f \\ \delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right|

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}=2\delta^c_f

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abc}=6

證明

1）三對縮並：

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abc}

a,b,c

會在{

{1,2,3}

} 中取遍每一個元素，總共會有

3^3

種取法，所以總共是

3^3

項求和，但是由於

\varepsilon

的特殊性質只有

A^3_3=6

項不為零。

\varepsilon_{abc}

中3項為

1

，三項為

-1

，其中

-1\times -1=1

。所以這六項都為

1

，所以

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abc}=6

2）兩對縮並：

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}

a,b

會在{

1,2,3

}中取遍每一個元素，求和中不為

0

的取法總共會有

C_3^2=3

種，每種取法有

A_2^2=2

種排列。

但是由於

c,f

為具體的某一個數，所以當

c=f\neq a,b

，

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}\neq0

；當

c\neq f

就意味著

c\in

{

a,b

}，所以會有

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}=0

，最終不為

0

的取法只有一種。為了描述這兩種不同情況，最終的表示式中會含有

\delta^c_f

。

在不為0的取法中，

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}=(-1)^2\varepsilon_{bac} \varepsilon_{baf}

，也就是2種排列相等，所以

\varepsilon_{abc} \varepsilon_{abf}=2\delta^c_f

3）一對縮並：

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{aef}

a

會在中{

1,2,3

}取遍每一個元素，總共會有種3取法，每種取法只有1種排列。

b,c,e,f

同樣為具體的某一個數，不過接下來為了更加直觀地分析，在這裡要分類討論。

①

b=e=\mu

這樣問題就變成了

\varepsilon_{a\mu c}\varepsilon_{a\mu f}

，是證明2的

b=\mu

的情況，所以最終的表示式裡會有1個

\delta^c_f

；同樣我們也可以討論

c=f=\mu

的情況會得到

\delta^b_e

，這兩個

\delta

應該是以

\delta^b_e \delta^c_f

的形式出現（注：證明2中的2來自於

a,b

的排序，但在這裡並不排序。）

②

b=f=\mu

這樣問題就變成

\varepsilon_{a\mu c}\varepsilon_{ae\mu}=-\varepsilon_{a\mu c}\varepsilon_{a\mu e}

了，按照①的方法可知最終表示式裡會有

-\delta^b_f\delta^c_e

，所以

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{aef}= \left| \begin {matrix} \delta^b_e & \delta^b_f \\ \delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right|

4）不縮並：

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{def}

利用套娃的思想來進行分類討論

①

a=b=\mu

問題就變成了

\varepsilon_{\mu bc}\varepsilon_{\mu ef}

，按照證明3的方法，最終的表示式中會有

\delta^a_b \left| \begin {matrix} \delta^b_e & \delta^b_f \\\delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right|

②

a=e=\mu

問題就變成了

\varepsilon_{\mu bc}=\varepsilon_{d\mu f}=-\varepsilon_{\mu df}

，最終的表示式中會有

-\delta^a_e \left| \begin {matrix} \delta^b_d & \delta^b_f\\ \delta^c_d & \delta^c_f \end{matrix} \right|

③

a=f=\mu

問題就變成了

\varepsilon_{\mu bc}\varepsilon_{deu}=\varepsilon_{ubc}\varepsilon_{ude}

，最終的表示式中會有

\delta^a_f \left| \begin {matrix} \delta^b_d & \delta^b_e \\\delta^c_d & \delta^c_e \end{matrix} \right|

最終的表示式為

\varepsilon_{abc}\varepsilon_{def}=\delta^a_b \left| \begin {matrix} \delta^b_e & \delta^b_f \\\delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right| -\delta^a_e \left| \begin {matrix} \delta^b_d & \delta^b_f\\ \delta^c_d & \delta^c_f \end{matrix} \right| +\delta^a_f \left| \begin {matrix} \delta^b_d & \delta^b_e \\ \delta^c_d & \delta^c_e \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} \delta^a_d & \delta^a_e& \delta^a_f \\\delta^b_d & \delta^b_e& \delta^b_f \\\delta^c_d & \delta^c_e & \delta^c_f \end{matrix} \right |

Q.E.D