注意，本文采用

-+++

符號，並且

\gamma^\mu\gamma_\mu

表示求和約定，

\gamma^\mu\gamma^\mu

表示兩個分量相乘，不求和。

我們先重點討論一下

\gamma

矩陣及其代數結構，數學上稱為Clifford代數（東雲正樹：群論 （Group Theory） 終極速成 / マボロシの旋量空間與哈人的 Clifford 代數 ， Elaina：從Atiyah-Singer指標定理到Clifford代數）。

本來按照Dirac最早的辦法，需要引入諸多數學物件，我們就簡單一點，把相對效能動量關係直接利用

\gamma

矩陣改造為線性的，以及考慮到

-+++

情況下的指標縮並情況

\gamma ^{\mu}p_{\mu}-m=0 \\ -\gamma ^0E+\gamma ^ip_i-m=0

這個式子要在二次下得到

-E^2+p^2+m^2=0

，也就是

\left( -\gamma ^0E+\gamma ^ip_i-m \right) \left( -\gamma ^0E+\gamma ^ip_i-m \right) =0 \\ \left( \gamma ^0 \right) ^2E^2+\frac{1}{2}\left( \gamma ^i\gamma ^j+\gamma ^j\gamma ^i \right) p_ip_j+m^2=0

於是得到關係

\gamma ^0\gamma ^0=-1, \gamma ^i\gamma _i=3\longrightarrow \gamma ^i\gamma ^i=1 \\ \gamma ^{\mu}\gamma _{\mu}=-\gamma^0\gamma^0+\gamma^i\gamma_i=4 \\ \left\{ \gamma ^{\mu},\gamma ^{\nu} \right\} =\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}=2g^{\mu \nu}

第三式在靜態時空中會有如

\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}=0, \,\mu \ne \nu \\

的事情發生。我們移項然後取跡

\gamma ^{\mu}=-\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu} \\ \mathrm{tr}\left( \gamma ^{\mu} \right) =\mathrm{tr}\left( -\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu} \right) =\mathrm{tr}\left( -\gamma ^{\mu} \right) \\ \mathrm{tr}\left( \gamma ^{\mu} \right) =0

所以

\gamma

矩陣是零跡么模矩陣，這個我們熟，可以用Pauli矩陣表示。所以我們可以取

\gamma ^0=\left( \begin{matrix} 0& 1\\ -1& 0\\ \end{matrix} \right) , \gamma ^i=\left( \begin{matrix} 0& \sigma ^i\\ \sigma ^i& 0\\ \end{matrix} \right) \\ \sigma ^1=\left( \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right) , \sigma ^2=\left( \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right) , \sigma ^3=\left( \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right)

此外，如果把單位矩陣

1

認為是標量，

\gamma ^{\mu}

認為是向量，我們還可以利用全反對稱張量構造一個贗標量

\gamma ^5=A\varepsilon _{\mu \nu \rho \lambda}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho}\gamma ^{\lambda}=A^{

而我們希望得到一個實矩陣，所以係數可以選擇

A=-i/4!\longrightarrow A^{

。那麼

\gamma ^5=i\gamma ^0\gamma ^1\gamma ^2\gamma ^3=\left( \begin{matrix} -1& 0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right)\\

因為

\left( \gamma ^0 \right) ^{\dagger}=-\gamma ^0,\left( \gamma ^i \right) ^{\dagger}=\gamma ^i

，所以

\left( \gamma ^5 \right) ^{\dagger}=\gamma ^5, \left( \gamma ^5 \right) ^2=1 \\ \left\{ \gamma ^5,\gamma ^{\mu} \right\} =\gamma ^5\gamma ^{\mu}+\gamma ^{\mu}\gamma ^5=0

也就是

\gamma ^5

既是厄米共軛的（Hermitian），又是么正的（Unitary）。那麼推而廣之，我們還可以定義一個贗向量，記為

\gamma ^{\mu 5}=\gamma ^{\mu}\gamma ^5

。以及張量

\gamma ^{\mu \nu}=\left[ \gamma ^{\mu},\gamma ^{\nu} \right] /2

。這樣，從標量，到向量，到張量，到贗向量，到贗標量，一起構成了所有的

\gamma

矩陣，構成Clifford代數的元素集合

\begin{matrix} 1& \mathrm{scalar}& 1\\ \gamma ^{\mu}& \mathrm{vector}& 4\\ \gamma ^{\mu \nu}& \mathrm{tensor}& 6\\ \gamma ^{\mu 5}& \mathrm{pseudo}-\mathrm{vector}& 4\\ \gamma ^5& \mathrm{pseudo}-\mathrm{scalar}& 1\\ \end{matrix} \\

第三列是指個數，共有16個元素。還有一點，在

-+++

符號下，Dirac共軛的定義沒有發生變化

\left( \gamma ^0 \right) ^{\dagger}=-\gamma ^0, \left( \gamma ^i \right) ^{\dagger}=\gamma ^i \\ \left( \gamma ^0 \right) ^{\dagger}=\gamma ^0\gamma ^0\gamma ^0\longrightarrow \left( \gamma ^{\mu} \right) ^{\dagger}=\gamma ^0\gamma ^{\mu}\gamma ^0 \\ \bar{\psi}=\psi ^{\dagger}\gamma ^0 \\ \left[ \left( \gamma^\mu p_\mu-m \right)\psi \right]^\dagger=\bar{\psi}\left( \gamma^\mu p_\mu-m \right)

在

+---

符號下，矩陣的形式會改變，但代數結構（運算）不會改變。

定義Dirac共軛的目的是讓 #FormatImgID_30# 成為一個厄米算符，方便運算。

我們知道，Dirac方程包含的波函式是一個四分量波函式

\psi

，又稱為旋量。其中又可以把四個分量按照自旋的上下拆分成兩個二分量波函式

\psi _L,\psi _R

，稱為Weyl旋量。那麼注意到

\gamma ^0=\left( \begin{matrix} 0& 1\\ -1& 0\\ \end{matrix} \right) , \gamma ^i=\left( \begin{matrix} 0& \sigma ^i\\ \sigma ^i& 0\\ \end{matrix} \right) \\

Dirac方程可以寫為

\left( i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m \right) \psi =\left( -i\gamma ^0\partial _0+i\gamma ^i\partial _i-m \right) \psi \\ =\left( \begin{matrix} -m& i\left( \sigma \cdot \nabla -\partial _0 \right)\\ i\left( \partial _0+\sigma \cdot \nabla \right)& -m\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} \psi _L\\ \psi _R\\ \end{array} \right) =0 \\

如果所描述的費米子恰好是無質量的，

m=0

給出兩個獨立的方程

i\left( \partial _0+\sigma \cdot \nabla \right) \psi _L=0 \\ i\left( \partial _0-\sigma \cdot \nabla \right) \psi _R=0

稱為Weyl方程。我們可以構造一個

4

維Pauli向量

\sigma ^{\mu}=\left( 1,\sigma \right)

，再定義

\bar{\sigma}^{\mu}=\left( -1,\sigma \right)

（在

+---

的情況下是

\sigma ^{\mu}=\left( 1,\sigma \right)

，

\bar{\sigma}^{\mu}=\left( 1,-\sigma \right)

），那麼

\gamma

矩陣可以表示為

\gamma ^{\mu}=\left( \begin{matrix} 0& \sigma ^{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu}& 0\\ \end{matrix} \right) \\

Weyl方程也就有了新的形式

i\bar{\sigma}^{\mu}\partial _{\mu}\psi _L=0 \\ i\sigma ^{\mu}\partial _{\mu}\psi _R=0

Weyl的這一套討論，讓我們看到Dirac方程蘊含著一種比較特殊的代數對稱性。

我們在量子場論中考慮Dirac方程，可以考慮建立標量場理論時的結論和經驗。Dirac方程四分量波函式透過自旋可以分成兩個Weyl旋量，而Weyl旋量也可以透過某種“荷”分為兩個分量，比如電荷就可以按照正負分別賦予這兩個分量，我們把這兩個分量記為

u\left( p \right) ,v\left( p \right)

那麼上下自旋的正能態可以合併表示為（積分測度簡單記為

\mathcal{D} p

）

\psi _+\left( x \right) =\int{\mathcal{D} p\,\,u\left( p \right) \mathrm{e}^{-ipx}} \\

帶入Dirac方程

\left( i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m \right) u\left( p \right) =\left( \gamma ^{\mu}p_{\mu}-m \right) u\left( p \right) =0 \\ \left( \begin{matrix} -m& \sigma ^{\mu}p_{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}& -m\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \end{array} \right) =0 \\ \begin{cases} \sigma ^{\mu}p_{\mu}u_2=mu_1\\ \bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}u_1=mu_2\\ \end{cases} \\

這是一個耦合方程組。把上下式相乘，得到

\sigma ^{\mu}p_{\mu}\cdot \bar{\sigma}^{\nu}p_{\nu}=m^2

關係，下面利用這個關係進行解耦。

令

u_1=\sigma ^{\mu}p_{\mu}\xi

帶入第二式

m^2\xi ^{

但我們還有更對稱的選擇來讓它變得更有對稱性。取引數變換

\xi ^{

，那麼

u\left( p \right) =A\left( \begin{array}{c} \sigma ^{\mu}p_{\mu}\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ m\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ \end{array} \right) =A\left( \begin{array}{c} m\sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ m\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ \end{array} \right) \\

歸一化係數可以選擇

A=1/m

，就有更簡潔的形式

u\left( p \right) =\left( \begin{array}{c} \sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\\ \sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\\ \end{array} \right) \xi\\

而對於負能態，我們故技重施

\left( -i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m \right) v\left( p \right) =0 \\ \left( \begin{matrix} m& \sigma ^{\mu}p_{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}& m\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right) =0 \\ \begin{cases} \sigma ^{\mu}p_{\mu}v_2=-mv_1\\ \bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}v_1=-mv_2\\ \end{cases}

同樣存在

\sigma ^{\mu}p_{\mu}\cdot \bar{\sigma}^{\nu}p_{\nu}=m^2

，但要注意

v_1=\sigma ^{\mu}p_{\mu}\xi ^{

。最後就會有

v\left( p \right) =\left( \begin{array}{c} \sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\\ -\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\\ \end{array} \right) \xi \\

之後的問題就是，在通解上，正負能態和產生湮滅算符怎麼組合的問題了。

我們可以認為“產生一個正能態”和“湮滅一個負能態”作為一個性質的事件組成正能通解場，其Dirac共軛就是“湮滅一個正能態、產生一個負能態”的負能通解場。再把正能態的產生湮滅算符記為

a^{\dagger},a

，負能態的產生湮滅算符記為

b^{\dagger}.b

，有

\psi \left( x \right) =\int{\frac{\mathrm{d}^3p}{\left( 2\pi \right) ^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega}}\sum_s{\left( a^{\dagger s}u^s\left( p \right) \mathrm{e}^{-ipx}+b^sv^s\left( p \right) \mathrm{e}^{ipx} \right)}} \\ \bar{\psi}\left( x \right) =\int{\frac{\mathrm{d}^3p}{\left( 2\pi \right) ^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega}}\sum_s{\left( a^s\bar{u}^s\left( p \right) \mathrm{e}^{ipx}+b^{s\dagger}\bar{v}^s\left( p \right) \mathrm{e}^{-ipx} \right)}}

但實際應用中我們還是把四個事件進行“拼積木”—“產生正/負能態的上/下自旋粒子”。

而且由於Dirac方程描述自旋

1/2

的費米子，在統計上遵循反對易關係

\left\{ a_{q}^{r},a_{p}^{s\dagger} \right\} =\left\{ b_{q}^{r},b_{p}^{s\dagger} \right\} =\left( 2\pi \right) ^3\delta ^3\left( p-q \right) \delta _{rs} \\

最後，我們來探討一下Dirac場的一點問題。

我們如果圖方便，把Dirac場認為是一個復場

\mathcal{L} _{Dirac}=\bar{\psi}\left( i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m \right) \psi \\

則其運動方程與動量場為

\frac{\partial \mathcal{L} _{Drica}}{\partial \bar{\psi}}=\partial _{\mu}\frac{\partial \mathcal{L} _{Dirac}}{\partial \left( \partial _{\mu}\bar{\psi} \right)}=0 \\ \left( i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m \right) \psi =0 \\ \pi =\frac{\partial \mathcal{L} _{Drica}}{\partial \dot{\psi}}=-\bar{\psi}\left( i\gamma ^0 \right) =i\psi ^{\dagger} \\

這會導致和Schrodinger場一樣的問題，

\left[ \psi ,\pi \right] =0

（Monsoon：［量子場論］ 導言：Schrodinger場），正則動量給不出動力學。除了動量，只要我們定義了Dirac共軛，

\gamma ^{\mu}

就是一個厄米算符，能夠承擔給出動力學的任務。

給出動力學的另一條途徑是Noether定理裡的守恆流，

\partial _{\mu}J^{\mu}=0

。在Dirac場的情況下有

i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}\psi =m\psi \\ \mathrm{Notice}: \left( ab \right) ^{\dagger}=b^{\dagger}a^{\dagger} \\ -i\partial _{\mu}\bar{\psi}\gamma ^{\mu}=m\bar{\psi} \\ i\left( \bar{\psi}\gamma ^{\mu} \right) \partial _{\mu}\psi +i\psi \partial _{\mu}\left( \bar{\psi}\gamma ^{\mu} \right) =0 \\ \partial _{\mu}\left( \bar{\psi}\gamma ^{\mu}\psi \right) =0 \\ J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma ^{\mu}\psi \\

注意上式運算中左右乘的順序。由於這個流來源於

\gamma ^{\mu}p_{\mu}\psi =m\psi

，它應該是Dirac場的動量流。而從數學形式上看，對於Dirac場來講，

\bar{\psi}\psi

是個標量，

\bar{\psi}\gamma ^{\mu}\psi

是個守恆的向量（流），那麼應當還存在一個贗向量構成的流

J^{\mu 5}=\bar{\psi}\gamma ^{\mu 5}\psi \\

帶入守恆方程，以及考慮Dirac方程

\partial _{\mu}J^{\mu 5}=\partial _{\mu}\left( \bar{\psi}\gamma ^{\mu 5}\psi \right) \\ =\left( \partial _{\mu}\bar{\psi}\gamma ^{\mu} \right) \gamma ^5\psi +\bar{\psi}\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}\left( \gamma ^5\psi \right) \\ \mathrm{Notice}: \left\{ \gamma ^5,\gamma ^{\mu} \right\} =0 \\ =\left( \partial _{\mu}\bar{\psi}\gamma ^{\mu} \right) \gamma ^5\psi -\bar{\psi}\gamma ^5\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}\psi \\ =im\bar{\psi}\gamma ^5\psi +im\bar{\psi}\gamma ^5\psi =2im\bar{\psi}\gamma ^5\psi

可見，這個流只有在

m=0

的時候才守恆，它反應的是無質量費米子所特有的某種對稱性。

在Monsoon：標量場的費曼微擾理論中我們研究了場論中的傳播子，也就是兩點關聯函式，是場論最基本的粒子產生、傳播然後湮滅的過程。我們把Dirac的情況考慮進來。

根據標量場的經驗，我們把我們可以直接寫出Dirac場的兩點關聯函式，在四維時空點

x

產生一個粒子，傳遞到點

y

湮滅

S_F\left( y-x \right) =\left< 0 \right|\bar{\psi}\left( y \right) \psi \left( x \right) \left| 0 \right> \\ =\int{\frac{\mathrm{d}^4p}{\left( 2\pi \right) ^4}}\frac{i}{p^2-m^2+i\varepsilon}u\left( p \right) \mathrm{e}^{-ipx}\bar{u}\left( p \right) \mathrm{e}^{ipy} \\ =\int{\frac{\mathrm{d}^4p}{\left( 2\pi \right) ^4}}\frac{iu\bar{u}}{p^2-m^2+i\varepsilon}\mathrm{e}^{ip\left( y-x \right)}

而注意到

\begin{aligned} u\bar{u}&=\left( \begin{array}{c} \sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ \sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\xi\\ \end{array} \right) \left( \begin{matrix} \xi ^{\dagger}\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}& \xi ^{\dagger}\sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\\ \end{matrix} \right) ,\xi \xi ^{\dagger}=I\\ &=\left( \begin{matrix} \sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}& \sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\\ \sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}& \sqrt{\bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}}\sqrt{\sigma ^{\mu}p_{\mu}}\\ \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} m& \sigma ^{\mu}p_{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu}p_{\mu}& m\\ \end{matrix} \right)\\ &=\gamma ^{\mu}p_{\mu}+m\\ \end{aligned}\\

同理還有

v\bar{v}=\gamma ^{\mu}p_{\mu}-m\\

於是

S_F\left( y-x \right) =\left< 0 \right|\bar{\psi}\left( y \right) \psi \left( x \right) \left| 0 \right> \\ =\int{\frac{\mathrm{d}^4p}{\left( 2\pi \right) ^4}}\frac{i\left( \gamma ^{\mu}p_{\mu}+m \right)}{p^2-m^2+i\varepsilon}\mathrm{e}^{ip\left( y-x \right)} \\

這就是費米子的傳播函式。