Counterexamples In Functional Analysis

開一塊地專門整理一下泛函分析中的各種反例，感覺沒有例子看的話泛函學起來實在是太難受了（雖然有例子學起來一樣和難受）

單說泛函分析這個領域過於龐大，所以這裡實際上只能覆蓋到我這個專欄下所涉及的一些最基礎的知識（比如一些定理去掉某些條件之後的反例）以及我覺得比較有意思的例子。這裡的很多例子取自《泛函分析中的反例》（相信大家都是知道這本書的）也有一些是我所做過的課後習題，所以大概我在這裡只是一個搬運工

不定時更新也歡迎大家貢獻新的有意思的例子

例1：一個不完備的賦範線性空間

和閉子空間

使得商空間

是完備的

這個例子對應Week 1裡的一個命題：Banach空間對閉子空間的商空間還是Banach的

令

$X=c_c\subset l^\infty$

包含只有有限項非零的序列，賦與

$l^\infty$

的範數，那麼明顯

是非完備的，因為我們只需要取Cauchy列

$x_n=(\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},...,\frac{1}{2^n},0,0,...)$

，其不收斂到

當中。如果我們令

為

中前

項為零（

為一給定自然數）的序列組成的線性子空間，那麼它明顯是個閉的（雖然它也不完備），但是

作為商空間，其中代表元的區別僅僅只有前

項，所以明顯是完備的

例2：Riesz引理不能被加強到

這個例子對應Week 1的Riesz引理：令

為一個賦範線性空間，

$Y\subsetneq X$

為一個閉的真子空間，則對任意

$d\in (0,1)$

都存在

$x_0\in X$

使得

$\|x_0\|=1$

且

$\|x_0-y\|\ge d$

對任意

$y\in Y$

都成立

令

$X=\{f\in C([0,1])|f(0)=0\}$

賦與最大模範數

$\|f\|=\max_{t\in[0,1]}|f(t)|$

，則其為一個Banach空間，令

$Y=\{f\in X|\int_0^1f(t)dt=0\}$

，明顯其

為一個閉的真子空間。我們用反證法說明不存在

$f_0\in X$

使得

$\|f_0\|=1$

且

$\|f_0-g\|\ge 1$

對任何

$g\in Y$

都成立，假設存在，對任意

$f\in X\backslash Y$

定義

$c_f=\frac{\int_0^1 f_0(t)dt}{\int_0^1 f(t)dt}$

，則有

$\int_0^1(f_0(t)-c_ff(t))dt=0$

，故

$f_0-c_ff\in Y$

，按照假設我們有

$\|c_ff\|=\|f_0-(f_0-c_ff)\|\ge1$

，即

$\|f\|\ge\frac{1}{|c_f|}$

。根據

的定義我們得到

$|\int_0^1f(t)dt|=\frac{|\int_0^1f_0(t)dt|}{|c_f|}\le\|f\||\int_0^1f_0(t)dt|$

。由於

$f_n(t)=t^{\frac{1}{n}}\in X\backslash Y$

且

$\|f_n\|=1,\forall n$

，我們代入上式得到

$\frac{n}{n+1}=|\int_0^1 f_n(t)dt|\le\|f_n\||\int_0^1 f_0(t)dt|\le|\int_0^1 f_0(t)dt|$

，根據

的任意性我們得到

$|\int_0^1f_0(t)dt|\ge1$

，但是由於

$f_0\in X$

，

$\|f_0\|=1$

且

，其積分必定嚴格小於1，矛盾

例3：存在某個線性空間上的兩個範數與點列

$\{x_n\}_{n=1}^\infty$

使得其在兩個範數下都收斂而極限不同

驚了。。。從來沒有考慮過還有這種事情（雖然誘導的拓撲不一樣之後收斂性確實可以有天翻地覆的改變但是這個還是somehow有點讓我驚訝）這個例子可以在某種意義上對應到Week 1的對於範數等價性的討論

令

$X=\mathbb{R}[t]$

為實多項式

組成的線性空間，賦與範數

$\|p\|_N=|\sum_{i=0}^n a_i|+\sum_{i\ne N}\frac{|a_i|}{i+1}$

，其中

為一個給定的正整數。我們先證明這確實是一個範數，首先

$\|p_1+p_2\|_N\le\|p_1\|_N+\|p_2\|_N$

和

$\|kp\|_N=|k|\|p\|_N,\|p\|_N\ge0$

都明顯成立，我們證明

$\|p\|_N=0$

當且僅當

$p(t)\equiv0$

，充分性明顯，對於必要性，假設

$\|p\|_N=0$

，則

$|\sum_{i=0}^n a_i|=0$

和

$\sum_{i\ne N}\frac{|a_i|}{i+1}=0$

要同時成立，第二個成立可以得到

$a_i=0,i\ne N$

，代入第一個當中得知

，即

$p(t)\equiv0$

，故這樣定義的

$\|\cdot\|_N$

是一個範數。

再令

，則

$\{p_n\}_{n=1}^\infty$

在

$\|\cdot\|_N$

下收斂到

，因為

$\|t^n-t^N\|=\frac{1}{n+1}\to0$

。實際上我們甚至可以找個範數讓它收斂到任意一個給定多項式上去。。。具體的證明就不放在這裡寫了，有興趣的讀者可以去看看Laugwitz 寫的論文

On Assigning an Arbitrary Limit to a Linearly Independent Sequence of Vectors

（而且我怎麼覺得這裡和多項式其實完全不擦邊因為各種操作都只和係數有關= =。。。）

例4：賦範線性空間上不連續的線性泛函

這個太好構造了，實際上如果我們承認選擇公理任何無限維的空間上都很容易作出不連續的線性泛函，但是

$\mathrm{ZF}+\neg \mathrm{AC}$

的情況下任何線性泛函都必須是連續的，放一個stack exchange的連結上面有比較詳細的討論（啊順帶感嘆一下邏輯學家真厲害）

例5：賦範線性空間空間中不閉的子空間

我們完全可以用例1的方法構造出來這樣的反例，此外在Week 1最後的一小段部分也提到了對於一個非平凡的線性泛函

，其有界當且僅當核空間

$\mathrm{Ker}(f)$

是閉的，所以我們用例4構造一個不連續的線性泛函再取其核空間就是一個反例了

例6：Hilbert空間中找到一個非空閉集使得其中不存在最小范數的元素

這個反例不難構造，對應Week 2的第一個引理，說明凸性是不可以被省略的

設

$\{\phi_n\}_{n=1}^\infty$

是Hilbert空間中的一個無限規範正交子集，令

$\psi_n=(1+\frac{1}{n})\phi_n$

，則有

$\|\psi_n-\psi_m\|^2=\|(1+\frac{1}{n})\phi_n-(1+\frac{1}{m})\phi_m\|^2=(1+\frac{1}{n})^2+(1+\frac{1}{m})^2>2$

容易看出

$\{\psi_n\}_{n=1}^\infty$

構成一個閉集（任意兩項之間的距離都恆大於2，所以如果要有柯西列就一定從某一項之後全都變成某個

$\psi_k$

，收斂到的極限自然就是

$\psi_k$

，故是個閉集），但是明顯沒有一個最小范數

接下來兩個反例對應Week 2的Riesz表示定理和其推論正交分解定理

例7：存在一個內積空間使得Riesz正交分解定理不成立

這個例子說明完備性不能被去掉

設

$\{\phi_n\}_{n=1}^\infty$

是可分空間

的規範正交系，

$p=\sum_{i=2}^\infty\gamma_i\phi_i$

為一個固定的點，其中

$\sum_{i=2}^\infty\vert\gamma_i\vert^2<\infty$

，且有無窮多個

$\gamma_i\ne0$

，令

$q=\phi_1+p$

。

設

是一切形如

$\sum_{i\ne1}a_i\phi_i$

的有限線性組合所成的線性空間，而

為一切形如

的元素全體，其中

為任意複數，

$g\in M$

。我們證明

$p\notin U$

，假設

$p\in U$

，則

，即有

$\sum_{i=2}^\infty\gamma_i\phi_i=a\phi_1+ap+g$

，根據線性無關性可以得到

，故

$g=\sum_{i=2}^\infty \gamma_i\phi_i\in M$

，但是

是有限項線性組合組成的空間，矛盾，那麼

$p\notin U$

。同時由於

$q\in U$

，有

$\phi_1\notin U$

。

下證

在

中稠密，這並不難證明，任意

$x\in\sum_{i=1}^\infty \beta_i\phi_i\in H$

，令

$h_n=\beta_1q+\sum_{i=2}^n(\beta_i-\beta_1\gamma_i)\phi_i$

，則按定義

$h_n\in U$

，那麼

$x-h_n=\sum_{i=1}^\infty\beta_i\phi_i-\sum_{i=2}^\infty\beta_1\gamma_i\phi_i-\beta_1\phi_1-\sum_{i=2}^n(\beta_i-\beta_1\gamma_i)\phi_i=\sum_{i=n+1}^\infty(\beta_i-\beta_1\gamma_i)\phi_i$

於是

$\|x-h_n\|\le\|\sum_{i=n+1}^\infty\beta_i\phi_i\|+\|\sum_{i=n+1}^\infty\beta_1\gamma_i\phi_i\|=(\sum_{i=n+1}^\infty|\beta_i|^2)^{\frac{1}{2}}+(\sum_{i=n+1}^\infty|\beta_1\gamma_i|^2)^{\frac{1}{2}}\to0$

，故

在

中稠密。（其實就是取前有限項逼近就行了寫這麼複雜= =）下證

是

的閉子空間，設

$g_n\in M,\lim_{n\to\infty} g_n=g_0$

，由於

$\left<\phi_1,g_n\right>=0,(n=1,2,...)$

有

$\left<\phi_1,g_0\right>=0$

。由於

$g_0\in U$

，那麼

$g_0=aq+g=a\phi_1+ap+g$

，於是

，得到

$g_0=g\in M$

。

明顯在

中和

正交的元素是

$\phi_1$

張成的線性子空間，這些元素都不在

中，那麼

在

中正交補為零子空間，這說明

作為全空間不能進行正交分解。可以注意的是分解定理成立全空間

不一定完備，但是

如果是

完備子空間，一樣可以實現正交分解，上例中

明顯也不是

中完備的。

例8：存在一個內積空間使得Riesz表示定理不成立

考慮上例中的內積空間

及其閉子空間

，那麼

$M^\perp=\{0\}$

，根據Hahn-Banach定理推論（參看Week 4）存在

上非零連續線性泛函

使得

$f(x)=0,x\in M$

（這裡可以回去再仔細看一下Hahn-Banach定理成立的空間其實並不需要Banach空間，所以即使這個內積空間不完備我們一樣可以用）。如果表示定理成立，那麼

$\exists! u\in U$

使得

$f(x)=\left<x,u\right>,\|u\|=\|f\|$

，那麼

$u\in U\backslash M$

時，

$f(x)=\left<x,u\right>=0,\forall x\in M$

，這和

$M^\perp=\{0\}$

相矛盾。而

$u\in M$

時，

$f(u)=\left<u,u\right>=0$

得到

，和

$u\ne 0$

相矛盾，因此不存在唯一的

$u\in U$

使得

$f(x)=\left<x,u\right>$

例9：Baire Category Theorem簡單相關

這個相關給得太泛了，畢竟只說相關那整個泛函分析都或多或少和它相關。。所以這裡叫簡單相關因為只討論和Week 2中最基礎定理陳述相關的反例。因為是度量空間所以這個反例其實是挺好找的（甚至隨便都能腦補出來），我們就考慮最容易玩的非完備度量空間

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

繼承絕對值度量，明顯任意單點集都是無處稠密的，那麼任何

$\mathbb{Q}$

的子集甚至其本身也是meager的。在Week 2定理的各個表述馬上就得到了反例，都是些最基本概念的改述，在這裡也不仔細寫了

例10：Uniform Boundedness Principle不成立的賦範線性空間

Week 2最後證明的Uniform Boundedness Principle在非完備的空間中一般是不成立的，這個還是用我們最開始用的空間就很好構造，取

$X=Y=c_c\subset l^\infty$

，定義線性運算元

，由於

中元素只有有限項非零，可知對於任意

$x\in X$

都有

$\sup_{n\in\mathbb{N}} \|T_nx\|<\infty$

，但是

$\|T_n\|=n\to\infty$

例11：強收斂但是不依範數收斂的有界線性運算元列

Week 3開始提到了運算元列強收斂的概念和Banach-Steinhaus定理，明顯依範數收斂必定強收斂，但是反之不然，考慮

空間，對任意的

$x=(x_1,x_2,...)\in l^p$

，令

$T_n x=(x_n,x_{n+1},...)$

，則明顯這是一個

到自身的有界線性泛函，且明顯對任意的

都有

$\|T_nx\|\to 0$

，即運算元列

$\{T_n\}_{n=1}^\infty$

強收斂到零運算元，但是

$\|T_n\|\ge\|T_ne_n\|=1$

不可能依範數趨向於零運算元

例12：Banach-Steinhaus定理必須要Banach空間才能成立

令

$X=l^\infty,Y=c_c\in l^\infty$

，則

在

中稠密，對任意

$x=(x_1,x_2,...)\in l^\infty$

令

，則這是一列有界的運算元且對

中每一個

都有

$\{T_nx\}_{n=1}^\infty$

收斂到

，但是

$X\to Y$

的恆等運算元不能被定義，即

$\{T_n\}_{n=1}^\infty$

不強收斂於

中的任何運算元

例13：開對映和閉影象定理不成立的賦範線性空間

這是Week 3， 4最核心（可能也是泛函分析最核心）的兩個定理了，但是反例其實是並不難得到的，我們還是考慮上面例子裡面的只有有限項非零的序列構成的賦範線性空間

，但是分別賦以下的範數

$\|x\|_1=\sum_{n=1}^\infty \vert x_n\vert,\|x\|_\infty=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|x_n\|$

。於是

$(X,\|\cdot\|_1)\to(X,\|\cdot\|_\infty)$

是有界但是其逆不是有界的，

$(X,\|\cdot\|_\infty)\to(X,\|\cdot\|_1)$

有閉影象但是不是有界的

例13：弱收斂而不強收斂的點列

到了Week 5就開始進入弱拓撲相關的內容了，我第一次見到這個還是在實分析裡面學習 Riemann-Lebesgue引理的時候聽說的，不過當時還沒有引入弱拓撲的概念，在後面學泛函剛開始正式接受弱拓撲的時候總是會把自己給繞到，我每次也都會看看這個最簡單最好記的例子

所以根據Riemann-Lebesgue和Riesz表示定理我們知道在

$L^p([0,1])(1\le p<\infty)$

中點列

$\{\sin kx\}_{k=1}^\infty$

弱收斂到 0，而明顯在範數誘導的拓撲下是不收斂的

例14：弱*收斂而不弱收斂的泛函列

注意我們現在討論的的是泛函列所以是在

裡面了。那麼上面的弱拓撲序列

$\{x^*_n\}_{n=1}^\infty$

收斂到

就是使得任意

$x^{**}\in X^{**}$

都有

$\lim_{n\to\infty} x^{**}(x^*_n)=x^{**}(x_0^*)$

，而其上弱*拓撲則只需要這個條件對“取值泛函”成立即可，即對任意

$x\in X$

，定義

上取值泛函

$\iota(x)\in X^{**}:\iota(x)(x^*)=x^*(x)$

，都有

$\lim_{n\to\infty} \iota(x)(x^*_n)=x_0^*(x)$

。所以明顯弱收斂泛函列一定弱*收斂。如果

是自反空間，我們在Week 5已經證明了

也是個自反空間且

到

$X^{**}$

可以用取值泛函定義出一個等距同構

$\iota$

，那麼弱*收斂的序列也是弱收斂的，但是對於一般的空間這是不成立的。

我們仍然取

，則表示定理告訴我們

，我們在其中取泛函列

$f_n=(0,...,0,1,0,...),n\in \mathbb{N}$

，則明顯有

$f_n(x)\to0,\forall x\in c_0$

，故

$\{f_n\}_{n=1}^\infty$

弱*收斂到0，但是我們可以證明它並不是弱收斂到0的，這需要用到Schur定理：

的強弱收斂是一致的。由於

$\{f_n\}_{n=1}^\infty$

在

明顯不強收斂於0，其也不弱收斂於0。

順帶放一下Schur定理的證明

例15：存在某個有界線性運算元

，使得

$\lambda$

是

的特徵值而

$\overline{\lambda}$

不是

的特徵值

令

為

上的左移運算元

，則其明顯是個有界線性運算元，其對偶運算元為右移運算元

，我們由

$(\lambda I-T)x=0$

得到當

$|\lambda|<1$

時其有非零解，而

$(\lambda I-T^*)x=0$

不存在非零解

例16：

小蜜蜂問答

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