接上講的符號和約定：

MP86：辛（symplectic）的起源（1）：三角函式的線性性與Hermite內積

根據上講討論，兩個平面向量

\textbf a,\textbf b

的內積和外積可以合成寫為：

\begin{align} \begin{bmatrix} \textbf{a} \cdot \textbf{b}\\ | \textbf{a} \times \textbf{b} | \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}ab\cos(\alpha-\beta) \\ ab\sin(\alpha-\beta)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 + a_2b_2 \\ -a_1b_2 + a_2b_1 \end{bmatrix} \end{align} \tag{1}

這裡出現了由

2

個向量的分量交替相乘產生的

2

-齊次項

\{a_ib_j\}

。將兩向量

\textbf a,\textbf b

所能產生的所有

2

-齊次項用一個向量表示：

v_{ab} = v(\textbf{a}, \textbf{b}) = ab\begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\beta \\ \cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\sin\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 \\ a_1b_2 \\ a_2b_1 \\ a_2b_2 \end{bmatrix} \tag{2}

稱為

2

-齊次向量。這樣可以透過對

v_{ab}

中的分量加加減減來構造內積和外積，它蘊含了形成內積和外積的所有資訊。有趣的是，內積和外積都只與夾角

\varphi = \alpha - \beta

有關，和絕對的角度

\alpha, \beta

沒有關係。進一步我們還注意到內積和外積對於兩向量都是雙線性的，這蘊含著某種可能的統一，需要把內積和外積放在一起考慮。前面透過Hermite內積完成了某種形式的統一，下面我們用張量對其進行統一，詳細推導參考 MP32：張量專題（1）：SO（2）和平面向量的張量。

張量積與旋轉不變數

前面是在平面

\mathbb{R}^2

的自然基中考慮了夾角

\varphi = \alpha - \beta

。進一步若

\mathbb{R}^2

有兩個正交歸一基

E = [i | j], \tilde{E} = [\tilde{i}|\tilde{j}]

，透過平面旋轉變換

R_\theta \in SO(2)

有如下基變換規律：

\tilde{E} = R_\theta E = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} E \tag{3}

那麼向量的座標會發生逆變：

\tilde{\textbf{a}} = R_\theta^{-1} \textbf{a}, \ \tilde{\textbf{b}} = R_\theta^{-1} \textbf{b} \\ \tag{4}

展開為：

\begin{align} \begin{bmatrix} \tilde{a}_1 \\ \tilde{a}_2 \end{bmatrix} & = R_\theta^{-1} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \tilde{b}_1 \\ \tilde{b}_2 \end{bmatrix} &= R_\theta^{-1} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \end{align} \tag{5}

根據（4）的逆變關係，考慮

2

-齊次向量

v_{ab} \mapsto \tilde{v}_{ab}

是如何隨基的變換而變換的。直接展開有如下關係：

\begin{align} \begin{bmatrix} \tilde{a}_1\tilde{b}_1 \\ \tilde{a}_1\tilde{b}_2 \\ \tilde{a}_2\tilde{b}_1 \\ \tilde{a}_2\tilde{b}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta\cos \theta& \cos \theta\sin \theta & \sin \theta\cos \theta & \sin \theta \sin \theta \\ -\cos \theta \sin \theta & \cos \theta \cos \theta & -\sin \theta \sin \theta & \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta & -\sin \theta \sin \theta & \cos \theta \cos \theta & \cos \theta \sin \theta \\ \sin \theta \sin \theta & -\sin \theta \cos \theta & -\cos \theta \sin \theta & \cos \theta \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1b_1 \\ a_1b_2 \\ a_2b_1 \\ a_2b_2 \end{bmatrix} \end{align} \tag{6}

中間的這個

(4 \times 4)

變換矩陣表示了張量積

R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1}

。注意到

2

-齊次向量也有類似的構成，可以形式化記

v_{ab} = \textbf a \otimes \textbf b

，這樣得到基的變換下齊次向量的變換關係，即構成以下對映：

\begin{align} R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1}： \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2 &\to \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2 \\ v_{ab} &\mapsto \tilde{v}_{ab} \\ \textbf{a} \otimes \textbf{b} & \mapsto \tilde{\textbf{a}} \otimes \tilde{\textbf{b}} \\ & = (R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1})(\textbf{a} \otimes \textbf{b}) \end{align} \tag{7}

對映

R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1}

稱為平面旋轉群

SO(2)

的

2

階

逆變張量(tensor)

。

Hermite內積的旋轉不變數

上節講到Hermite內積

\langle \cdot,\cdot \rangle

視為雙線性對映：

\begin{align} \mathbb{C} \times \mathbb{C} & \to \mathbb{C} \\ (\textbf{a},\textbf{b}) &\mapsto\langle \textbf{a},\textbf{b} \rangle =\textbf{a} \cdot \overline{\textbf{b}} \\ &= ab \text e^{i(\alpha-\beta)} = (a\text e^{i\alpha})(b\text e^{-i\beta}) = ab\text e^{i\varphi} \\ &=ab(\cos\alpha+i\sin\alpha) \cdot (\cos\beta-i\sin\beta) \\ &=ab(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \\ &+ iab(-\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \\ &= (\textbf{a} \cdot \textbf{b}) + i(\textbf{a} \times \textbf{b}) \\ &= (a_1b_1+a_2b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1) \end{align} \tag{8}

注意到正是張量積

\textbf{a} \otimes \textbf{b}

中的齊次項決定了Hermite內積中實內積和實外積的組成成分，所以Hermite內積可以視為：

\begin{align} H: \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2 &\to \mathbb C \\ \textbf a \otimes \textbf b &\mapsto H(\textbf a \otimes \textbf b) \end{align} \tag{9}

當基按照（3）變換時，

\textbf{a} \otimes \textbf{b} \mapsto \tilde{\textbf{a}} \otimes \tilde{\textbf{b}}

按照（7）中的張量

R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1}

變換，滿足：

\begin{align} H(\tilde{\textbf{a}} \otimes \tilde{\textbf{b}}) &= H\big((R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1})(\textbf{a} \otimes \textbf{b}) \big) \\ &=H(\textbf a \otimes \textbf b) \end{align} \tag{10}

Hermite內積、實內積、實外積都只和夾角

\varphi = \alpha - \beta

有關，而和兩個向量

\textbf{a}, \textbf{b}

的絕對角度無關。經過基變換和相應的二階逆變張量變換

R_\theta^{-1} \otimes R_\theta^{-1}

後，新的張量積

\tilde{\textbf{a}} \otimes \tilde{\textbf{b}}

仍然只和夾角

\varphi = \alpha - \beta

有關，而和兩個向量

\textbf{a}, \textbf{b}

的絕對角度無關。實際上這裡反映出了

R_\theta \in SO(2)

對兩個向量夾角的保持——平面旋轉作用於基，使得向量

\textbf{a}, \textbf{b}

在基下的絕對角度產生了變換，然而平面旋轉是正交變換，不改變兩向量的夾角，所以它們的相對角度不變。