開爾文勳爵在談到這個積分時寫道。“一個數學家對他來說就像兩倍於二的四對你來說一樣明顯”。

我假設你知道一些基本的積分和微分。下面的內容將為後面的巧妙技巧增加一些直覺感知。如果其中有些內容稍微有點令人費解，也不用擔心，只要試著感覺一下我所說的就好了。

這裡的方法是做一個巧妙的替換。但我們要做的是兩個變數的替換。你可以把當前的問題想象成計算曲線下的面積：

但我們要說明的是，這個問題也可以變成計算體積的問題。

為了計算體積，我們使用了一個與普通積分略有不同的變數變化公式。我們將使用極座標。這是用半徑和角度來表示x和y座標的。

在計算曲線下的面積時，有一個元素 “dx”，它代表了沿x軸的一個小距離。當計算體積時，有dx dy，這就像一個邊長為dx和dy的小矩形。然後用這些元素來構造一系列估計體積的“塊”。這一點在下面的視覺效果中最容易看到。積分是這些近似值的極限。

當使用極座標系統時，有一個稍微不同的面積元dA。隨著角度和半徑的微小變化，這個面積元可以越來越好地被一個邊長分別為dr和r*dθ的矩形所近似。對於小的θ， sin（θ）可以很好地被theta所近似，然後你可以證明下面的結果：

求解積分

首先給積分起個名字，我們叫它I。

注意，x只是一個 “啞變數”，無論使用什麼變數名稱，面積都是存在的。因此，我們也可以寫出以下兩道方程式：

現在，由於I只是一個常數，儘管我們還不知道它的值，我們可以使用正常的規則將一個常數帶入積分中：

到目前為止，我們還沒有做什麼實質性的工作。現在我們要認真思考一下積分的含義。我們取函式的積分。如果兩個函式在任何地方都取相同的值，那麼它們就是相同的，並且有相同的面積。考慮到這一點，如果把I*exp（-x^2）看作是x的函式，也就是說，把x的值作為輸入，並給出一個數字作為輸出，我們就可以進行以下運算：

我承認，這有點難以接受。在第一行中，只是用一個不同的變數名重寫了I的積分形式。在第二行，將I*exp（-x^2）視為一個函式，我們意識到可以將exp（-x^2）帶入dy積分中，這樣對於任何x的輸入值都會得到相同的輸出值。

把它完整地寫出來，就是：

接下來就是考驗洞察力的時候了。上面我們對變數名和如何表示一個函式的問題進行了討論。現在換個角度：這個表示式也表示了整個二維平面上exp（-（y^2+x^2））的積分，面積元素dA=dx dy。也就是說，dxdy是一個平面上的小矩形，而exp（-（y^2+x^2））是這個矩形上面的

高度

。

接下來，使用極座標表示：

由於sin^+cos^1=1，得到：

r的範圍從0到無窮大，theta的範圍從0到2*pi，因為這覆蓋了整個二維平面：任何點的半徑都小於無窮大，角度在0到2pi弧度之間。

我們可以用

鏈式法則

計算內積分：

最後得到：