「

Hello Orbit！

」之開普勒問題（二體問題）系列：

1。 從萬有引力定律到圓錐曲線軌道

2。 尋找開普勒問題中的首次積分

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

開普勒第三定律

現在，Probe 已經推匯出了開普勒問題中的

軌道方程

：

r=\frac{p}{1+e\cos{\theta}}

（1）

並且得到了所有的首次積分，它們分別對應著

角動量向量

、能量以及龍格楞次向量（

拉格朗日向量

）。

但是光有軌道方程，Probe 還是不知道軌道的週期以及任意時刻下質點所處的位置。今天他就準備著手解決這個問題。

回想之前推匯出的和時間有關的東西，Probe 立馬就想到了

開普勒第二定律

，也就是掠面速度恆定的定律。

\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}= \frac{1}{2}h

（2）

對於橢圓軌道（包括圓軌道）來說，軌道的面積是

\pi a b

，週期是

T

，那麼顯然：

\frac{S}{T} = \frac{\pi a b}{T}=\frac{1}{2}h

（3）

橢圓軌道的週期就是：

T=\frac{2\pi ab}{h}

（4）

Probe 在之前的推導中知道，

h

與橢圓軌道的半通徑

p

存在關係

p=\frac{h^2}{\mu}

，而半通徑與橢圓的半長軸

a

、半短軸

b

的關係又是

p=\frac{b^2}{a}

。Probe 就根據上面的關係，推出了週期

T

與半長軸

a

的關係式：

T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}

（5）

開普勒第三定律也就顯而易見了：

每個行星繞太陽公轉週期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程

但是，只知道週期，Probe 依然無法明確時間與質點所處軌道位置的關係。Probe 又想到了

h

的另一個關係：

r^2 \dot{\theta}=h

（6）

把這個式子寫為關於

\theta

的方程：

\frac{\mu^2}{h^3}\mathrm{d}t=\frac{1}{(1+e\cos{\theta})^2}\mathrm{d}\theta \\\frac{\mu^2}{h^3}(t-t_p)=\int_0^\theta\frac{1}{(1+e\cos{\varphi})^2}\mathrm{d}\varphi

（7）

其中

t_p

是

\theta=0

，也就是質點過軌道近拱點時的時刻。如果我們把近拱點時刻定為0的話：

\frac{\mu^2}{h^3}t=\int_0^\theta\frac{1}{(1+e\cos{\varphi})^2}\mathrm{d}\varphi

（8）

只要把 （8） 式積分出來，時間與軌道位置的關係就解決了！為此，Probe 請教了線上的 Matica 醬（Wolfram|Alpha： Computational Knowledge Engine）

\int_0^\theta\frac{1}{(1+e\cos{\varphi})^2}\mathrm{d}\varphi=\frac{e \sin (\theta )}{\left(e^2-1\right) (e \cos (\theta )+1)}-\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{(e-1) \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{e^2-1}}\right)}{\left(e^2-1\right)^{3/2}}

（9）

雖然這個式子很複雜，但是理論上來說關於時間的問題已經完全解決了！知道任意位置

\theta

，我們可以用 ⑨ 式得到時刻；而對於任意時刻，我麼也可以用 ⑨ 式反推回該時刻的位置（使用

牛頓迭代法

等數值方法總可以解出來）。但是，有強迫症的 Probe 才不願意寫出這麼複雜的一個式子就滿足了，他還要繼續化簡→_→。

由於沒有限制偏心率

e

的取值範圍，⑨ 式是對於所有型別的軌道通用的式子（除了

e=1

時的拋物線）。但是 Probe 主要關心的是

橢圓軌道

，所以限制

0<e<1

之後，⑨ 式可以寫為：

\frac{\mu^2}{h^3}t=\frac{1}{\left(1-e^2\right)^{3/2}}\left(2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-e }{1+e}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-\frac{e \sqrt{1-e^2} \sin (\theta )}{ e \cos (\theta )+1}\right)

（10）

設

M=\frac{\mu^2}{h^3}\left(1-e^2\right)^{3/2}t

，因為

h^3 = (p\mu)^\frac{3}{2}=(a(1-e^2)\mu)^\frac{3}{2}

，因此：

M=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}t=\frac{2\pi}{T}t

（11）

看來，

M

其實就代表著一個

和橢圓軌道半長軸相等的圓軌道在相同時間內轉過的角度。

下面這幅圖可以幫助理解：

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

圖片來源：

https：//

zh。wikipedia。org/wiki/%

E5%B9%B3%E8%BF%91%E9%BB%9E%E8%A7%92

。原作者：AndrewBuck

在上面這幅圖裡，橢圓是原始軌道，與橢圓相切的是一個輔助圓（半長軸與橢圓相等）。在相等的時間內，橢圓軌道上的質點執行到了p點，而輔助圓上的假象質點執行到了y點。橢圓軌道上所轉過的角度

\theta

（圖中為

T

）被稱為

真近點角（True Anomaly）

，而輔助圓軌道上假象質點所轉過的角度

M

被稱為

平近點角（Mean Anomaly）

。而將橢圓上的質點向上作延長線，交輔助圓於x點，所形成的角

E

被稱為

偏近點角（Eccentric Anomaly

）。

從幾何上，偏近點角

E

與真近點角

\theta

存在如下關係（不推導，直接寫出結論）：

\cos{E} = \frac{e+\cos{\theta}}{1+e\cos{\theta}},\\ \sin{E} = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin {\theta} }{ e \cos {\theta} +1}

（12）

於是：

\tan{\frac{E}{2}}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\theta}{2}},\\ E = 2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-e }{1+e}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)

（13）

比較 （12）（13） 與 （10），Probe 就得到了一個簡化不少的方程：

M=E-e\sin{E}

（14）

上式被稱為

開普勒方程

，反映了軌道上位置與時間的關係。雖然看起來簡化了不少，但是實際計算的時候，數值演算法還是逃不了的_（：з」∠）_。

（如果採用相似的推導過程，也可以得到雙曲線軌道的開普勒方程，在這裡就不再贅述）

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

軌道引數

在此之前，Probe 的推導全是利用

軌道狀態向量

（也就是

\bm{r}

、

\bm{v}

）來完成的。不過在真正的天文或者航天應用中，使用

狀態向量

來表示天體或者航天器很不方便。因此，在選取好參考平面後，需要使用

軌道引數（或者稱軌道根數）

來表徵軌道的位置、形態以及質點所在位置。

不管是航空航天概論還是天文學概論，六個軌道根數都是需要記住的內容（別問 Probe 怎麼知道的→_→）。來來來，複習一下送分題啦（ノ￣ω￣）ノ：

請寫出開普勒軌道的六個軌道引數：

軌道半長軸

a

軌道偏心率

e

軌道傾角

i

升交點黃經（赤經）

\Omega

近心點幅角

\omega

真近點角

\theta

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

圖片來源：Orbital elements。

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

圖片來源：Howard D。 Curtis。

Orbital Mechanics for Engineering Students

。 p158

其中，軌道半長軸

a

和偏心率

e

確定軌道的形態，軌道傾角

i

、升交點經度

\Omega

和近心點幅角

\omega

共同確定軌道相對於參考平面的位置與取向，而真近點角

\theta

決定天體（航天器）在軌道上的位置。

當然這並不是唯一的軌道引數定義方法，特別是對於決定軌道上所處位置的最後一個引數，還可以用過近地點時間

t_p

或者平近點角

M

來代替。而第一個引數軌道半長軸

a

也可以用軌道角動量

h

來代替。

有了時間與位置關係以及軌道引數，Probe 算是解決了最簡單的開普勒問題，於是繼續忙碌在氣礦場與星核之間（然而 Probe 畢竟 naive，開普勒問題的坑還又很多。Probe 還沒有解決狀態向量到軌道引數的變換問題、吉伯斯定軌方法、蘭伯特問題等等一系列的問題。

二體問題

的變軌也是一個大坑→_→）

開普勒方程與軌道引數

開普勒方程與軌道引數

參考資料

［1］ Howard D。 Curtis。

Orbital Mechanics for Engineering Students

。

［2］ 維基百科 - 平近點角

［3］ Wikipedia - Orbital elements

［4］ 標題圖依然來自：

https：//

vimeo。com/112361221

（這個影片真的很好看，強烈安利！）