這是我的一位美女學生問我的一個問題（美女！不是“胖三金”）：

我提出了問題一道幾何機率題？感謝Zhangyi介紹的影片以及keghost給出的回答！

對於這個問題，我自己有一個想法，就是：

考慮包含圓心的三角形

；

分別記

的對徑點為

；

於是又形成了3個三角形

；

而3個三角形

都是不包含圓心的；

因此

每1個包含圓心的圓內接三角形都伴隨著3個不包含圓心的圓內接三角形

，再如下圖所示：

另一方面，給出一個不包含圓心的圓內接三角形

，就可以構造出包含圓心的圓內接三角形

；

因此可以將圓內接三角形進行

劃分

（就是分成“不重不漏”的若干組），每個

劃分塊

（就是一組）包含1個包含圓心的圓內接三角形和它伴隨的3個不包含圓心的圓內接三角形。之後每次隨機選擇的圓內接三角形一定在某一個劃分塊中，而在該劃分塊中選中包含圓心者的機率就是

1/4

。

上面的方法的核心就是“對應”，這裡是1對3。（雖然我不敢說我的答案是正確的——貝特朗悖論已經讓我不相信機率了）

而“

一一對應

”具有非常的重要性！

對於原始人而言，他們先學會比較多少，後學會計數制。

例如一堆桃子和一堆蘋果，要比較哪堆兒多。

他們並不是計數後比較，而是“

一一對應

”，之後看剩下桃子（說明桃子多）、剩下蘋果（說明蘋果多）還是都不剩（說明一樣多）。

似乎一切都很順利而美好，但——

不正常的事情

出現在1638年，伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）在《關於兩種新科學的對話》中借三個中世紀的學者的對話指出：對於每個自然數，都有且只有一個平方數與之對應。

於是就產生了一個問題：

自然數和自然數的平方哪個多？

或者更一般地講：

部分和全體哪個多？

當時它不僅困惑了伽利略，也使許多數學家束手無策。

1874-1894年間，康託（Cantor，1845-1918）圓滿地解決了這個問題，其基本思想是“

一一對應

”。

定義

假設

和

是兩個集合，如果存在

到

的雙射，則稱集合

與集合

是

等勢的

，記作

；或稱

和

的

基數相等

，記作

。

【例】集合

和

是等勢的。

【例】

伽利略的問題的回答：

自然數集

和集合

是等勢的，雙射函式為

。這也說明有時候部分和全體“一樣大”。

事實上——

對於有限集合，有如下結果：

有限集合不能與其任意真子集等勢

。

而對於無限集合，可以證明

任意無限集必與其某個真子集等勢。

這給出了無限集的本質，經常用來作為無限集合的定義。

問題：

不同長短的線段，那個上面的點多？

回答：

藍色射線（們）建立了紅色線段和綠色線段上的點之間的一一對應（粉色點和翠綠色點），因此不同長短的線段上點“同樣多”（等勢）。

這也表明實軸上所有閉區間都等勢。

形式化地講，對於任意的實數

，

，閉區間

與

是等勢的。雙射函式為

。

類似地可以證明實軸上所有開區間都等勢。

問題：

空心線段和直線，哪個上面的點多？

回答：

開區間（0， 1）與實數集

是等勢的，雙射為

。

問題：

不一樣大的圓形，哪個上面的點多？

回答：

點“同樣多”（等勢）：

問題：

正方形和圓形，哪個上面的點多？

回答：

點“同樣多”（等勢），由上一個問題，不妨假設圓可以放入正方形中：

還有很多遺留的問題，將在下兩講中討論：

1 開區間

與閉區間

是否等勢？

2 單位長度的線段上的點和單位大小的正方形中的點哪個多？

3 自然數和有理數哪個多？

4 實數和複數哪個多？

5 自然數和實數哪個多？

6 什麼樣的集合包含的元素“最多”