對於C*代數的酉元集

\mathcal U(A)

，稱

u,v

同倫如果它們在

\mathcal U

中道路連通。

當

f:u\sim v,g:u

時，顯然

fg:uu

。因此同倫類對乘法不變。

引理2。1。3。

（1）對自共軛的

h

，

e^{ih}\sim 1

。

（2）如果

\sigma(u)\neq \mathbb T

那麼

u\sim 1

。

（3）如果

\|u-v\|< 2

那麼

u\sim v

。

（1）由

e^{ith}

關於

t

連續得到。

（2）是（1）的直接推論，因為

\sigma(u)\neq \mathbb T

時

u=e^{ih}

。

（3）因為

\|v^*u-1\|< 2

，所以

-2\not\in \sigma(v^*u-1)

，從而

-1\not\in \sigma(v^*u)

。

推論2。1。4。

M_n(\mathbb C)

的所有酉元同倫，因為譜都是有限的。

引理2。1。5

令

u,v\in A

是酉元。

\left(\begin{array}{}u&0\\0&v\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{}uv&0\\0&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{}v&0\\0&u\end{array}\right)

。

顯然

\left(\begin{array}{}1&0\\0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}0&1\\1&0\end{array}\right)

因為後者的譜有限。

因此，

\left(\begin{array}{}u&0\\0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}u&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}0&1\\1&0\end{array}\right)

而

\left(\begin{array}{}v&0\\0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}v&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}0&1\\1&0\end{array}\right)

，從而

\left(\begin{array}{}u&0\\0&v\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}u&0\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}v&0\\0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}uv&0\\0&1\end{array}\right)

。

命題2。1。6

（1）

[1]

是正規子群。

（2）

[1]

是開閉集。

（3）

[1]

由形如

e^{ih}

的元素有限生成。

（1）只需說明逆元和共軛的封閉性。設

f:1\sim u

，那麼

f(t)^{-1}:1\sim u^{-1}

，

vf(t)v^*:1\sim v uv^*

。

（2）因為

B(u,2)\subseteq [u]

所以

[1]

是開集，因此也是閉集。

（3）記由

e^{ih}

形式的元素生成的群是

G

，那麼對於

u\in G

和

\|v-u\|<2

，

vu^*

總可以表示成

e^{ih}

的形式，因此

v=e^{ih}u\in G

，從而

G

是開集。出於同樣的理由，

G

也是閉集。因為

G\subseteq [1]

，所以

G=[1]

。

引理2。1。7，設

\varphi:A\to B

是滿射*同態。

（1）

\varphi([1_A])=[1_B]

。

（2）記

\varphi_2\left(\begin{array}{}a&b\\c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}\varphi(a)&\varphi(b)\\\varphi(c)&\varphi(d)\end{array}\right)

，則對於每個

u\in \mathcal U(B)

總存在

v\in [1_{M_2(A)}]

使得

\varphi_2(v)=\left(\begin{array}{}u&0\\0&u^*\end{array}\right)

。

（3）設

u\in\mathcal{U}( B)

，

v\in \mathcal U(A)

且

u\sim \varphi(v)

，那麼

u\in \varphi(\mathcal U(A))

。

（1）顯然

\varphi([1_A])\subseteq [1_B]

，而將

[1_B]

的元素分解為指數元的積形式則可說明

\varphi([1_A])=[1_B]

。

（2）因為

\left(\begin{array}{}u&0\\0&u^*\end{array}\right)\in [1_{M_2(B)}]

所以存在存在

v\in [1_{M_2(A)}]

使得

\varphi_2(v)=\left(\begin{array}{}u&0\\0&u^*\end{array}\right)

。

（3）因為

u\varphi(v^*)\sim 1

所以

u\varphi(v^*)=\varphi(w)

，於是

u=\varphi(wv)

。

命題2。1。8，設

A

含么

（1）設

z

可逆，則

|z|

可逆，並且

\omega(z)=z|z|^{-1}\in \mathcal U(A)

。

（2）

\omega:\text{GL}(A)\to \mathcal U(A)

連續，並且

\omega(z)\sim_{\text{GL}} z

。

（3）如果

u,v\in \mathcal U(A)

並且

u\sim_{\text{GL}} v

那麼

u\sim _{\mathcal U} v

。

（1）

z

可逆意味著

|z|^2=z^*z

可逆，從而

|z|

可逆。

(z|z|^{-1})^*(z|z|^{-1})=|z|^{-1}z^*z|z|^{-1}=1

並且

(z|z|^{-1})(z|z|^{-1})^*=z|z|^{-2}z^*=zz^{-1}z^{*-1}z^*=1

。

（2）只需說明

z\to \sqrt z

在

z\in A^+

時連續即可。我們需要如下引理：

設

K

是非空緊實數集，

f:K\to \mathbb C

連續，

\Omega_K

是譜在

K

內的自共軛元，那麼

f:a\mapsto f(a)

連續。證明略去。

對於

A^+

的每個元素，取足夠小的鄰域

O

，則

f

在

\Omega_{\|O\|}

上連續。

定義

z_t=\omega(z)(t|z|+(1-t))

，由於

t|z|+(1-t)\geq 1-t

所以是可逆的所以

z_t

也是可逆的。

（3）設

t\mapsto z_t

是

\text{GL}

內的路徑，那麼

t\mapsto w(z_t)

是

\mathcal U

內的路徑。

稱投影

p\sim q

如果

p=v^*v

而

q=vv^*

。

稱投影

p\sim _uq

如果

q=upu^*

而

u\in \mathcal U(\widetilde A)

。

命題2。2。2，設

A

含么，

p,q

是投影，此時以下等價：

（1）

p\sim _uq

（2）

q=upu^*

，其中

u\in \mathcal U(A)

（3）

p\sim q

且

1-p\sim 1-q

（1）→（2）

設

q=zpz^*

而

z=u+\alpha(\widetilde 1-1)

，那麼

q=upu^*

並且

u\in \mathcal U(A)

。

（2）→（3）

設

q=upu^*

而

v=up

，

w=u(1-p)

，那麼

v^*v=p

，

vv^*=q

，

w^*w=1-p

，

ww^*=1-q

。

（3）→（1）

設有如上的

v,w

，那麼

z=v+w+(\widetilde 1-1)\in \mathcal U(\widetilde A)

並且

zpz^*=q

。

引理2。2。3，設

p

是投影，

a

自共軛，

\delta=\|p-a\|

。

\sigma(a)\subseteq [-\delta,\delta]\cup[1-\delta,1+\delta]

。

a

的譜是實數，只需證明對於不在區間內的實數不在譜內即可。

設這個數是

t

，此時

\|(p-t)^{-1}\|\leq \max\{|t|^{-1},|1-t|^{-1}\}

。

於是

\|(p-t)^{-1}(a-t)-1\|\leq d^{-1}\delta<1

，這說明

a-t

是可逆的。

命題2。2。4，設

p,q

是投影且

\|p-q\|<1

，那麼

p\sim q

。

令

a_t=(1-t)p+tq

則

a_t

自共軛並且

\min\{\|a_t-p\|,\|a_t-q\|\}\leq \|p-q\|/2<\frac 12

。

這意味著

\sigma(a_t)\subseteq [-\delta,\delta]\cup[1-\delta,1+\delta]

而

\delta<1/2

。

定義

f

使得它在

[-\delta,\delta]

上取

0

在

[1-\delta,1+\delta]

上取

1

，那麼

f(a_t)

是投影，並且是連線

p,q

的道路。

命題2。2。5，設

A

含么，

a,b

自共軛並且

b=zaz^{-1}

，那麼令

z=u|z|

則

b=uau^*

。

因為

|z|^2a=(z^*z)a=z^*bz=a(z^*z)=a|z|^2

所以

a|z|^{-1}=|z|^{-1}a

，從而

uau^*=b

。

命題2。2。6，設

A

含么，

p,q\in\mathcal P(A)

，那麼

p\sim_\mathcal P q

當且僅當存在

u\in [1_{\widetilde A}]

使得

q=upu^*

。

（1）設

q=upu^*

，令

u_t:1\sim_{\mathcal U(\widetilde A)} u

（根據2。2。2），那麼

u_tpu_t^*:p\sim_{\mathcal P(A)} q

。

（2）設

p\sim_\mathcal P q

則可以將道路分解為

\|p_j-p_{j+1}\|<1/2

的曲線，因此不妨假設

\|p-q\|<1/2

。

令

z=pq+(1-p)(1-q)

則

pz=pq=zq

並且

\|z-1\|\leq 2\|q-p\|<1

，從而

z

可逆，

z\sim_{\text{GL}(\widetilde A)} 1

。

令

z=u|z|

而

p=uqu^*

，有

u\sim z\sim 1

，根據2。1。8，

u\in \mathcal U_0(\widetilde A)

。

命題2。2。7，

\sim_\mathcal P\geq \sim _u\geq \sim

。

2。2。6說明了

p\sim_\mathcal Pq

則

p\sim _uq

，而如果

q=upu^*

則

q=(up)(up)^*

而

p=(up)^*(up)

。

命題2。2。8

（1）如果

p\sim q

則

\left(\begin{array}{}p&0\\0&0\end{array}\right)\sim_u\left(\begin{array}{}q&0\\0&0\end{array}\right)

（2）如果

p\sim _uq

則

\left(\begin{array}{}p&0\\0&0\end{array}\right)\sim_{\mathcal P}\left(\begin{array}{}q&0\\0&0\end{array}\right)

對於滿射*同態

\varphi

與

b\in\mathfrak B

，如果

\varphi(a)=b

則稱

a

是

b

的一個提升。

（1）如果

b

自共軛，則有自共軛的

a

是提升，並且

\|a\|=\|b\|

。

（2）命題對正定的

b

同樣成立。

（3）命題對一般的

b

同樣成立。

對於（1）（2），分別構造

\frac{a+a^*}{2}

和

\sqrt{a^*a}

可得到自共軛和正定的提升，之後令

f

是

[-\|a\|,\|a\|]

上的連續函式，使之在

[-\|b\|,\|b\|]

上取

\text{id}

，並且

\|f\|\leq \|b\|

，那麼有

\varphi(f(a))=f(\varphi(a))=f(b)=b

，並且

\|f(a)\|\leq\|b\|\leq\|f(a)\|

。

對於（3），將

\varphi

擴張為

M_2(\mathfrak A)\to M_2(\mathfrak B)

的對映，並令

y=\left(\begin{array}{}0&b\\b^*&0\end{array}\right)

，根據（1）有提升

x

，則

x_{12}

是滿足條件的提升。