【高等數學】等價無窮小代換

一。無窮小

定義1

。若

$x \to x_0$

時，

函式

$f(x) \to 0$

，則稱

函式

為

$x \to x_0$

時的無窮小。

注

。

可以是

$\pm \infty$

；無窮小說的是“函式”，唯一的常數無窮小是 0，其實不是常數 0 而是 0 函式。

• 有限個無窮小的和仍是無窮小；（無限個不一定）

• 有限個無窮小的乘積仍是無窮小；（無限個不一定）

• 有界函式與無窮小的乘積仍是無窮小。

無窮小與函式極限的關係：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = A +\alpha(x), \, \,其中, \alpha(x) 為 x \to x_0 時的無窮小。$

二。無窮小的階

同樣是無窮小，在

$x \to x_0$

時，都趨於 0，但趨於 0 的速度快慢可能是不一樣的，為了描述此事，引入無窮小的階的概念。

定義2

。設

和

都是

$x \to x_0$

時的無窮小，

（i）若

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

，則稱

為

的高階無窮小，此時也稱

為

的低階無窮小；

結合該例來記：

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$

，故

$x \to 0$

時，

是

的高階無窮小，

是

的低階無窮小。

（ii）若

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l, \quad ( l \neq 0, \infty)$

，則稱

為

的同階無窮小；

特別地，若

，則稱

與

為等價無窮小。

三。等價無窮小代換

等價無窮小代換，是求極限過程中經常用到的一種方法，它實際上就是泰勒公式展開的前一項或前兩項。其原理，是基於“等價無窮小”的定義以及“極限的乘法、除法運演算法則”：

定理1

。設

與

為

$x \to x_0$

時的等價無窮小，則

（i）若

$\lim_{x \to x_0} f(x) h(x) =A$

，則

$\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) =A$

；

（ii）若

$\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} = A$

，則

$\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = A$

證明

：

與

為

$x \to x_0$

時的等價無窮小，則

$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

（i）由極限的乘法運演算法則，

$\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) h(x) = 1 \cdot A = A$

（ii）由極限的除法運演算法則，

$\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A$

注

。該定理表明求極限時，表示式

的乘法因子

可替換為等價無窮小的

；

表示式

$\frac{h(x)}{f(x)}$

的除法因子

可替換為等價無窮小的

。

特別注意

：用等價無窮小代換求極限時，乘積項可以直接代換，而和差項不能直接代換，但可以作為整體代換。

為什麼和差項不能直接代換？

因為和差項直接代換，可能會忽略掉不能忽略的高階項。

例如，求

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x}$

。

錯解

：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3}=0$

正解

：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} (1- \cos x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\cos x} \frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x} = \frac{1}{2}$

說明

：錯誤在於，由於分母

$\sin^3 x \sim x^3$

，故分子包含的

項是不能忽略的（更高階項是可以忽略的：

$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

，

$\tan x \sim x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

，

重新代換就沒問題了：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\big( x + \frac{x^3}{3} \big) - \big( x - \frac{x^3}{6} \big)} {x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$