就是個得得憋推薦於 2017-11-24

在數學中，微分是對函式的區域性變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。

當自變數為固定值

需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往採用作圖法，將該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。然而，畫出來的切線是有誤差的，也就是說，以作圖法得到的斜率並不是完全準確的斜率。微分最早就是為了從數學上解決這一問題而產生的。 以y=x^2為例，我們需要求出該曲線在（3，9）上的斜率，我們可以假設在y=x^2上有另一點（3+δx，9+δy），畫一條過這兩點的直線，該直線的斜率為δy/δx。我們知道，這兩點之間的距離越短，過這兩點直線的斜率就越接近所求的斜率m，當δx與δy的值變得無限接近於0時，直線的斜率就是點的斜率。 當x=3+δx時，y=9+δy，也就是說， （3+δx）^2=9+δy 9+6δx+（δx）^2=9+δy （展開） 6δx+（δx）^2=δy （兩邊減去9） δy/δx=6+δx （兩邊除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=6+δx=6 我們得出，y=x^2在點（3，9）處的斜率為6。

當自變數為任意值

在很多情況下，我們需要求出曲線上許多點的斜率，如果每一個點都按上面的方法求斜率，將會消耗大量時間，計算也容易出現誤差，我們現在仍以y=x^2為例，計算圖象上任意一點的斜率m。 假設該點為（x，y），做對照的另一點為（x+δx，y+δy），我們按上面的方法再計算一遍： （x+δx）^2=y+δy x^2+2xδx+（δx）^2=y+δy （展開） 2xδx+（δx）^2=δy （y=x^2，兩邊減去y） δy/δx=2x+δx （兩邊除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=2x+δx=2x 我們得出，y=x^2在點（x，y）處的斜率為2x。 limδx→0 δy/δx=m被記作dy/dx=m。

定義

微分

設函式y = f（x）在x0的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函式的增量Δy = f（x0 + Δx） − f（x0）可表示為 Δy = AΔx + o（Δx）（其中A是不依賴於Δx的常數），而o（Δx0）是比Δx高階的無窮小，那麼稱函式f（x）在點x0是可微的，且AΔx稱作函式在點x0相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函式的微分是函式增量的主要部分，且是Δx的線性函式，故說函式的微分是函式增量的線性主部（△x→0）。 通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函式y = f（x）的微分又可記作dy = f‘（x）dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此，導數也叫做微商。 當自變數X改變為X+△X時，相應地函式值由f（X）改變為f（X+△X），如果存在一個與△X無關的常數A，使f（X+△X）-f（X）和A·△X之差是△X→0關於△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f（X）在X的微分，記為dy，並稱f（X）在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′（X）dX。例如：d（sinX）=cosXdX。 微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小區域性可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函式的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，同時又表示一種與求導密切相關的運算。微分是微分學轉向積分學的一個關鍵概念。微分的思想就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函式曲線的區域性，用直線代替曲線，而線 微分

性函式總是比較容易進行數值計算的，因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

推導

設函式在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函式的增量可表示為，其中A是不 依賴於△x的常數， 是△x的高階無窮小，則稱函式 在點x0可微的。 叫做函式 在點x0相應於自變數增量△x的微分，記作dy，即：dy= 。微分dy是自變數改變數△x的線性函式，dy與△y的差 是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出： 當△x→0時，△y≈dy。 導數的記號為： 還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變數的增量等於自變數的微分），還可表示

幾何意義

設Δx是曲線y = f（x）上的點M的在橫座標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱座標上的增量，dy是曲 幾何意義

線在點M的切線對應Δx在縱座標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多（高階無窮小），因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

同理，當自變數為多個時，可得出多元微分的定義。

單項式

當函式為單項式y=ax^n（a和n為常數）的形式時，有基本公式： dy/dx=anx^（n-1）或d/dx（ax^n）=anx^（n-1） 如d/dx（x^2）=2x，d/dx（3x^5）=15x^4。 當a為常數時，d/dx（ax）=a且d/dx（a）=0。 注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運演算法則前請務必牢記。

多項式

當函式為幾個ax^n形式的單項式的和或差時，這個函式的微分只需在原函式的微分上進行加減即可。 以函式y=ax^m+bx^n為例，將其拆分為兩個函式u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。 可以得出du/dx=amx^（m-1），dv/dx=bnx^（n-1）。 ∵y=u+v ∴δy=δu+δv ∴δy/δx=δu/δx+δx/δx ∴dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1） ∴d/dx（ax^m+bx^n）=amx^（m-1）+bnx^（n-1） 同理可以得出d/dx（ax^m-bx^n）=amx^（m-1）+bnx^（n-1） 最後得出公式： d/dx（ax^m±bx^n）=amx^（m-1）±bnx^（n-1） 有了這兩個公式，我們可以微分大部分常見的初等函式。 注意：f’（x）是函式f（x）的微分。

當需要微分（x+1）^2時，我們可以將其展開成為x^2+2x+1後將其微分，得到2x+2。然而，當我們遇到類似（3x+1）^5這樣的式子時，將其展開將浪費許多時間和精力，這時我們可以使用連鎖律來解決這個問題。 假設y=f（x）且z=f（y）： ∵δy/δx=（δy/δz）×（δz/δx） ∴limδx→0 δy/δx=（limδz→0 δy/δz）×（limδx→0 δz/δx） 又∵limδx→0，limδz→0 ∴limδx→0 δy/δx=（limδx→0 δy/δz）×（limδx→0 δz/δx） 得出公式： dy/dx=（dy/dz）×（dz/dx） 以y=（3x+1）^5為例，使用微分法微分： 假設z=3x+1，y=z^5。 d/dx［（3x+1）^5］=dy/dx =（dy/dz）×（dz/dx） =［d/dz（z^5）］×［d/dx（3x+1）］ =（5z^4）（3） =15z^4 =15（3x+1）^4 （不需要展開） 這樣我們就可以輕鬆得出（3x+1）^5的微分。

連鎖律的應用1

連鎖律一般被用來求y^n的微分（y=f（x）且n為常數），我們可以用連鎖律獲得更簡單的公式。 以（ax+b）^n為例，假設y=ax+b： d/dx（y^n） =d/dy（y^n）×dy/dx （連鎖律） =［ny^（n-1）］（a） =any^（n-1） =an（ax+b）^（n-1） 可以得出： d/dx（y^n）=［ny^（n-1）］（dy/dx） d/dx［（ax+b）^n］=an（ax+b）^（n-1）

連鎖律的應用2

在日常生活中，n除經常取整數外，還經常取1/2，即y=√z。 同樣以y=√z（z是自變數為x的函式）為例，使用剛得到的公式進行微分： dy/dx =（dy/dz）×（dz/dx） （連鎖律） =［0。5z^（-0。5）］（dz/dx） 得出另一個公式： d/dx（√y）=（dy/dx）/（2√y） 以上兩個公式可以在大多數情況下代替連鎖律使用，它們比連鎖律更容易使用。

當我們需要求出（x+1）（x-1）的微分時，我們可以將其展開成為x^2-1，然後進行微分，得出2x。但是當我們遇到（x+1）（x-1）^7這種式子的時候，將其展開極為繁瑣，而連鎖律也不能直接使用，這時我們就需要乘法律拆分這個式子，然後才能將其微分。 假設u和v都是自變數為x的函式： uv=u（v） uv+δ（uv）=（u+δu）（v+δv） uv+δ（uv）=uv+uδv+vδu+δuδv （展開） δ（uv）=uδv+vδu+δuδv （兩邊減去uv） ∵limδx→0 δu=0且limδx→0 δv=0 ∴limδx→0 δuδv=0 ∴limδx→0 δ（uv）=limδx→0 （uδv）+limδx→0 （vδu） ∴duv/dx=u（dv/dx）+v（du/dx） 最後得出乘法律： d/dx（uv）=u（dv/dx）+v（du/dx） 我們用乘法律微分（x+1）（x-1）^7： d/dx［（x+1）（x-1）^7］ =（x+1）d/dx［（x-1）^7］+［（x-1）^7］d/dx（x+1） （乘法律） =（x+1）［7（x-1）^6］+（x-1）［（x-1）^6］ （連鎖律） =（7x+7）［（x-1）^6］+（x-1）［（x-1）^6］ =（7x+7+x-1）［（x-1）^6］ =（8x+6）［（x-1）^6］ =2（4x+3）［（x-1）^6］ 注意：在得到微分結果後，必須將其因式分解。

乘法律的應用1

在微分（x+1）（x-1）^7時，我們需要進行繁瑣的因式分解，我們可以總結出一個公式，以解決類似的問題。 假設a、b、m、n、p和q都是常數： d/dx［（mx+n）^a］［（px+q）^b］ =［（mx+n）^a］d/dx［（px+q）^b］+［（px+q）^b］d/dx［（mx+n）^a］ =［（mx+n）^a］［b（px+q）^（b-1）］+［（px+q）^b］［a（mx+n）^（a-1）］ =b［（mx+n）^a］［（px+q）^（b-1）+a［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^b］ =b（mx+n）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］+a（px+q）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ =（bmx+bn）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］+（apx+aq）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ =（bmx+apx+bn+aq）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ =［（ap+bm）x+（aq+bn）］［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ 得出公式： d/dx［（mx+n）^a］［（px+q）^b］=［（ap+bm）x+（aq+bn）］［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ 這個公式可以用來微分形如［（mx+n）^a］［（px+q）^b］的式子。

乘法律的應用2

有時我們會接觸u√v型別的式子，我們試著因式分解它： d/dx（u√v） =u（d/dx√v）+√v［d/dx（u）］ （乘法律） =u（dv/dx）/（2√v）+（√v）（du/dx） =（u/2）（dv/dx）/（√v）+v（du/dx）/（√v） =［（u/2）（dv/dx）+v（du/dx）］/（√v） 得出公式： d/dx（u√v）=［（u/2）（dv/dx）+v（du/dx）］/（√v）

乘法律的應用3

假設y是自變數為x的函式且a為常數，我們來嘗試微分ay。 =d/dx（ay） =a（dy/dx）+y［d/dx（a）］ （乘法律） =a（dy/dx） （d/dx（a）=0） 從結果得出公式： d/dx（ay）=a（dy/dx）

我們需要微分分式（x^2+x+1）/x時，我們可以將其化為x+1+1/x，微分後得到1-1/x^2。但這種方法對分母為多項式的分式是無效的，所以除法律被用來解決大部分分式的微分問題。我們可以用乘法律，假設其中一個乘式是分子為1的分式，以此推匯出除法律。 假設u和v都是自變數為x的函式： d/dx（u/v） =d/dx［u（1/v）］ =u［d/dx（1/v）］+（1/v）（du/dx） （乘法律） =u（dv/dx）［d/dv（1/v）］+（du/dx）/v （連鎖律） =-u（dv/dx）（1/v^2）+（du/dx）/v =-u（dv/dx）/（v^2）+v（du/dx）/（v^2） =［v（du/dx）-u（dv/dx）］/（v^2） 這樣我們得出除法律： d/dx（u/v）=［v（du/dx）-u（dv/dx）］/（v^2）

除法律的應用1

除法律的應用的常用格式與乘法律相同，首先是［（mx+n）^a］/［（px+q）^b］型別的微分： d/dx{［（mx+n）^a］/［（px+q）^b］} ={［（px+q）^b］d/dx［（mx+n）^a］-［（mx+n）^a］d/dx［（px+q）^b］}/（px+q）^（2b） （除法律） ={a［（px+q）^b］［（mx+n）^（a-1）］-b［（mx+n）^a］［（px+q）^（b-1）］}/（px+q）^（2b） ={（apx+aq）［（px+q）^（b-1）］［（mx+n）^（a-1）］-（bmx+bn）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］}/（px+q）^（2b） =（apx+aq-bmx-bn）［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］/（px+q）^（2b） =［（ap-bm）x+（aq-bn）］［（mx+n）^（a-1）］/（px+q）^（b+1） 得出公式： d/dx{［（mx+n）^a］/［（px+q）^b］}=［（ap-bm）x+（aq-bn）］［（mx+n）^（a-1）］/（px+q）^（b+1）

除法律的應用2

我們用除法律微分形如u/√v的式子： d/dx（u/√v） =［（√v）（du/dx）-（u）d/dx（√v）］/v （除法律） =［（√v）（du/dx）-（u/2）（dv/dx）/（√v）］/v =［v（du/dx）-（u/2）（dv/dx）］/（v√v） 得出公式： d/dx（u√v）=［v（du/dx）-（u/2）（dv/dx）］/（v√v）

除法律的應用3

當分式的分子為常數時，我們有更快的方法微分它： d/dx（a/y） =［（y）d/dx（a）-a（dy/dx）］/（y^2） （連鎖律） =a（dy/dx）/（y^2） （d/dx（a）=0） 得出公式： d/dx（a/y）=［a/（y^2）］（dy/dx）

基本法則

dy/dx=d/dx［f（x）］=f‘（x） d/dx（ax^n）=anx^（n-1） d/dx（ax）=a d/dx（a）=0 d/dx（ax^m+bx^n）=amx^（m-1）+bnx^（n-1）

連鎖律

dy/dx=（dy/dz）×（dz/dx） d/dx（y^n）=［ny^（n-1）］（dy/dx） d/dx［（ax+b）^n］=an（ax+b）^（n-1） d/dx（√y）=（dy/dx）/（2√y）

乘法律

d/dx（uv）=u（dv/dx）+v（du/dx） d/dx［（mx+n）^a］［（px+q）^b］=［（ap+bm）x+（aq+bn）］［（mx+n）^（a-1）］［（px+q）^（b-1）］ d/dx（u√v）=［（u/2）（dv/dx）+v（du/dx）］/（√v） d/dx（ay）=a（dy/dx）

除法律

d/dx（u/v）=［v（du/dx）-u（dv/dx）］/（v^2） d/dx{［（mx+n）^a］/［（px+q）^b］}=［（ap-bm）x+（aq-bn）］［（mx+n）^（a-1）］/（px+q）^（b+1） d/dx（u√v）=［v（du/dx）-（u/2）（dv/dx）］/（v√v） d/dx（a/y）=［a/（y^2）］（dy/dx）

d（x^3/3）=x^2dx 基本公式

d（-1/x）=1/x^2dx d（lnx）=1/xdx d（-cosx）=sinxdx d（e^（x^2）/2）=xe^（x^2）dx