好吧，對於一個繪圖操作工來說，面對一張白紙通常第一筆就是畫一條線段：

圖3701 一條需要完成的軌跡-線段L

上圖的線段 L 在平面上的位置和長度均為約束完整的，呈現黑色。但是為了畫面整潔，隱去標註的尺寸。

我們期望在這個平面上尋求出一個四杆機構，使得這個機構上的某一點能夠在上圖中的線段 L 上來回移動。

並且其上有三點 P1、P2 和 P3 是所經過的點，如下：

圖3702 線段上的三點

P1 及 P3 點是界定的兩個點，含義是不能保證 P1 及 P3 點之外的軌跡是直線，但是 P1 及 P3 點之間的軌跡要求是直線（即使是近似的）。P2 是 P1 及 P3 點之間的任意確定點，意思說你可以線上段上任意選一與 P1 和 P3 不重合的點 P2，並標註座標確定位置。

好了，隨後我們透過三點 P1、P2 和 P3 分別做三個三角形 △A1B1P1、△A2B2P2 及 △A3B3P3，就像下面的樣子：

圖3703 約束到線段上三個點上的三個三角形

讓上述相應的線段相等，即：A1B1 = A2B2 = A3B3、A1P1 = A2P2 = A3P3 和 B1P1 = B2P2 = B3P3。即： △A1B1P1 ≌ △A2B2P2 ≌ △A3B3P3，如下的樣子：

圖3704 三角形 ABP 移動線上段上的三個位置

上圖，我們沒有對三角形的尺寸進行約束，因此用游標按壓並拖拉三角形的幾何元素，會改變他們的幾何尺寸，但不會改變 △A1B1P1 ≌ △A2B2P2 ≌ △A3B3P3 的關係。

接下來哦我們再隨意做兩個不同的圓 Oc 和 Od，如下：

圖3705 兩個沒有約束的圓

圓 Oc 是搖桿 AC 所形成的圓，端點 A 的軌跡是圓 Oc 的圓弧；同樣圓 Od 是另一搖桿 BD 所形成的圓，端點 B 的軌跡是圓 Od 的圓弧。

現在我們將上圖中 A 點的三個不同位置重合約束到圓 Oc 所在的圓弧上，如下：

圖3706 A 點的三個不同位置處在一個圓弧上

同樣，B 點的三個不同位置重合約束到圓 Od 所在的圓弧上，如下：

圖3707 B 點的三個不同位置處在另一個圓弧上

用游標對圖中的幾何元素進行適當調整，比如調整成如下的樣子：

圖3708 調整後的樣子

調整的過程中要照顧兩種情況：

第一）各個點的移動順序要一致。也就是說，點 P 是沿著線段 L 依次從 P1 然後經 P2 到P3；那麼， 點 A 就應當沿著圓 Oc 的圓弧以 A1 、A2 及 A3 的順序移動；同樣， 點 B 亦是如此。如下圖示示：

圖3709 相應點的移動順序

不能在點 P 由 P1 經過 P2 位置後到 P3 ，相應的 A 點卻是 A1 然後經過 A3 到達 A2。方向上無所謂，但順序上要注意；

第二）圓弧上點的移動範圍，相對整個圓弧來說，要儘可能地小。原本所謂的線段 L ，也不過是一條閉合曲線的一部分。

現在是不是調整的差不多了？那就將他們的約束完整起來，或者是將他們的座標和尺寸標記上。如下的樣子：

圖3710 所有的幾何元素均約束完整（標註尺寸隱去）

因為我們所選取的移動位置有限，在我們的例子裡只有三點，因此我們不能保證 P 點在移動的過程中就一定是在一條直線上，也許會是一條另外的曲線，如下圖所示：

圖3711 經過幾點的不同曲線

因此，需要我們對我們的工作搞一個檢驗，讓我們確認我們所做的工作可以滿足我們的要求。

現在我們在前圖中再做另外一個三角形 △AiBiPi ，並且使得與前述的三角形全等即： △AiBiPi ≌ △A1B1P1 ≌ △A2B2P2 ≌ △A3B3P3，當然相應的邊也是相等的，如下圖：

圖3712 另外的一個座標未確定三角形

我們用這個三角形 △AiBiPi 來檢驗我們個工作，將 Ai 點約束到 Oc 圓弧上、將 Bi 點約束到 Od 圓弧上，但是不要對 Pi 進行任何操作，下面圖的樣子：

圖3713 進入檢驗位置的三角形

用游標拖拉 △AiBiPi 的幾何元素，讓其上的 Ai 點在 A1、A2 及 A3 所在的弧段上游動，或者讓其上的 Bi 點在 B1、B2 及 B3 所在的弧段上游動，我們會注意到點 Pi 的位置是處線上段 L 上的。如果超出線段 L 的範圍， Pi 點就偏離了 線段 L 所在的直線上。如下圖的樣子：

圖3714 檢驗三角形 △AiBiPi 在圖中的狀態

我們應該清楚的是，所謂的檢驗，其實是憑著我們的眼力來判斷。

透過 △AiBiPi 的檢驗，我們認定此平面四杆機構的結構，其不同位置的狀態如下：

圖3715 連接出兩搖桿的不同位置，連線定杆

上圖比較煩亂，分別單獨標示如下：

圖3716 連桿機構第一位置

圖3717 連桿機構第二位置

圖3718 連桿機構第三位置

還是動態演示一下吧：

圖3719 動態演示

毫無疑問，用平面四連桿機構來構築一條（近似）直線的軌跡，可以有無窮多個解！

同時我們可以考慮如下幾個條件：

一）在 △ABP 中，如果 AP = BP 時；

二）在 △ABP 中，如果 AP + BP = AB 時；

三） 在 △ABP 中，如果 AB + AP = BP 時；

四） 如果兩搖桿長度相等時；

五）更多限定條件的時候；

六）前一章：

直線連桿機構的分類

中所提到的

近似直線連桿機構（Approximate straight line linkages）

是不是都被括囊在其中？

不過，應當注意的是：軌跡的範圍有限的，軌跡的精度也是近似的。

前一章：

直線連桿機構的分類

《連桿機構知幾何？》目錄

後一章：

直線機構的孿生解