omp 12級 2010-07-16 回答

1）

n（n+1）（n+2）（n+3）+1

=n（n+3）（n+1）（n+2）+1

=（n^2+3n）（n^2+3n+2）+1

=（n^2+3n）^2+2（n^2+3n）+1

=（n^2+3n+1）^2

所以，四個連續自然數的積加1必為一完全平方數。

2）

這個自然數x

x-45=a^2

x+44=b^2

兩式相減得：b^2-a^2=89

（b-a）（b+a）=89

因為89是質數

所以，

b-a=1

b+a=89

解得：b=45，a=44

x=a^2+45=1981

這個自然數是1981

很高興為樓主解答 如有錯誤請諒解

劍詡 1級 2010-07-16 回答

設a=n2，d=（n+1）2，那麼一定存在b=c=（n+1）n的整數（n為自然數），這樣與題設不符。只有當設n2=10^q，b設為n2x，c設為n2y，d為n2xy，且xy<=（n+1）2/n2，即xy<=（10+1）^q/10^q。而使b，c，d均為整數，那麼xy的乘積最多有q個小數位。不難發現，只有當x=y時，才符合所有的題設。但這樣又與原題相悖，所以不存在ad=bc，且a