在證明

Hahn-Banach延拓定理

之前，我們先來敘述一下

Zorn引理

，首先要引入

偏序集

，

全序集

的概念。所謂集合

S

上的

關係

，指的是

S \times S

的一個子集

E

。我們判斷

S

中的元素

a

和

b

是否具有關係

E

，就看

(a,b)

是否屬於

E

，若

(a,b)\in E

，就稱

a

和

b

具有關係

E

，記作

aEb

。若

S

上的關係

E

對任意的

a,b,c\in S

滿足三條

（1）

aEa

（自反性）

（2）

aEb且 bEa\Rightarrow a=b

（反對稱性）

（3）

aEb,bEc\Rightarrow aEc

（傳遞性）

則稱

E

為

S

上的偏序關係，定義了偏序關係的集合被稱為

偏序集

。設

S

上有一個偏序關係

E

，若對於任意

a,b\in S

，

aEb

和

bEa

總有一個成立，那麼就稱

E

為

S

上的全序關係，定義了全序關係的集合被稱為

全序集

。

再來引入和偏序集有關的兩個概念——

上界

和

極大元

。設

A

是偏序集

S

（

S

上定義的偏序關係為

E

）的一個子集，若對於

\alpha \in S

，成立

xE\alpha(\forall x\in A)

，則稱

\alpha

是

A

的一個

上界

。若對於

\beta\in S

，成立

\beta Ey\Rightarrow y=\beta

，則稱

\beta

是

S

的

極大元

。

囉嗦了一大堆，終於可以給出Zorn引理了。

（

Zorn引理

）若

偏序集

的任意

全序子集

都有

上界

，那麼該

偏序集

有

極大元

。

Zorn引理和

選擇公理

是等價的，這意味著，他更像是人為設定的一種數學規則。如果把規則當作工具使用，我們就可以把某些對任意正整數成立的事實，藉助Zorn引理這一工具，推廣到更為一般的情形。我們可以把Zorn引理看作是不可數次數的數學歸納法。接下來證明Hahn-Banach延拓定理的過程中所用到的技巧也被稱為

超限歸納法

，它是由Zorn引理所保證的（當然，你也可以不承認選擇公理，那麼以下延拓定理至少對任意的有限維數的實線性空間是成立的）。

（

Hahn-Banach延拓定理

） 設

M

是

實線性空間

X

的子空間，

f

是定義在

M

上的

實線性泛函

，設

p

為

X

上的

實泛函

，對於任意

x,y\in X,a\geq 0

，滿足

（1）

p(x+y)\leq p(x)+p(y)

（2）

p(ax)=ap(x)

。

若

f(x)\leq p(x)(\forall x \in M)

成立，則存在

F

為

X

上的

實線性泛函

，使得

（1）

F(x)=f(x)(\forall x \in M )

（2）

F(x)\leq p(x)(\forall x \in X)

。

證明：

1、

證明可以延拓到多一維的空間

。

取

x_1\in X-M

，令

M_1=span\{x_1\}\oplus M

。則對於

\forall x\in X_1

，

x=x_0 +tx_1(x_0\in M,t\in R)

這個表示式是唯一確定的，定義

f_1(x)=f(x_0)+tc

，其中

c\in R

是待定常數，則容易驗證，

f_1

是

X_1

上的實線性泛函，且有

f_1(x)=f(x)(\forall x \in M )

，下面選定合適的

c

，使得

f_1(x)\leq p(x)(\forall x \in X_1)

。有以下事實：

f_1(x)\leq p(x)(\forall x \in X_1)\Leftrightarrow f(x_0)+tc\leq p(x_0+tx_1)(\forall t\in R) \Leftrightarrow tc\leq p(x_0+tx_1)-f(x_0)(\forall t\in R)

注意到

tc\leq p(x_0+tx_1)-f(x_0)(\forall t\in R)（*）

等價於

t>0 :c\leq p(\frac{x_0}{t}+x_1)-f(\frac{x_0}{t});t<0 :c\geq f(\frac{x_0}{-t})-p(\frac{x_0}{-t}-x_1)。

只要

c

滿足

c\leq \inf_{y\in M} [ {p(y+x_1)-f(y)}];c\geq \sup_{z\in M}[f(z)-p(z-x_1)]

，則上面的式子（*）成立。所以說，只要

\sup_{z\in M}[f(z)-p(z-x_1)]\leq \inf_{y\in M} [ {p(y+x_1)-f(y)}]

，這樣的

c

總是可以取到的，事實上，只要

\sup_{z\in M}[f(z)-p(z-x_1)]\leq c\leq\inf_{y\in M} [ {p(y+x_1)-f(y)}]

，我們就可以使得

f_1(x)\leq p(x)(\forall x \in X_1)

成立。

斷言

f(z)-p(z-x_1)\leq {p(y+x_1)-f(y)}（\forall z\in M，\forall y\in M）

成立，事實上，

f(z)+f(y)=f(z+y)\leq p(y+z)\leq p(y+x_1)+p(z-x_1)(\forall y \in M,\forall z \in M)

是顯然成立的，所以我們的斷言是正確的，對兩邊關於

y\in M

和

z\in M

分別取確界，就很容易得到

\sup_{z\in M}[f(z)-p(z-x_1)]\leq \inf_{y\in M} [ {p(y+x_1)-f(y)}]

，由之前的討論就可以取到

c

使得

f_1(x)\leq p(x)(\forall x \in X_1)

成立。反覆使用數學歸納法，我們就可以得到對任意有限維數的實線性空間

X

，Hahn-Banach延拓定理都是成立的。

2、

利用zorn引理（超限歸納法）證明對一般的實線性空間

X

，Hahn-Banach延拓定理都是成立的

。

我們記

S=\{g|g為X的子空間D(g)上的實線性泛函且滿足(1)g(x)=f(x)(\forall x\in M);(2) g(x)\leq p(x)(\forall x \in D(g))\}

，在其上定義偏序關係

g_1E g_2

當且僅當

g_2

為

g_1

的延拓。這個時候我們就得到了偏序集

(S,E)

，設

A

是

S

的全序子集合，令

D(G)=\bigcup_{g\in A}D(g)

，則容易驗證

D(G)

為

X

的子空間，任意

x\in D(G)

，則存在

g\in A

，使得

x\in D(g)

，令

G(x)=g(x)

，容易驗證這樣定義的

G

屬於

S

，且

G

確為

A

的上界，於是我們就證明了偏序集

S

的任何全序子集都有上界，由Zorn引理就可以推斷出

S

有極大元

F

。下面我們證明

D(F)=X

，反證法，若

D(F)

不等於

X

，那麼就存在

y_0 \in X-D(F)

，則由前文可知，存在

F_1\in S

，且

D(F_1)=span\{y_0 \}\oplus D(F)

，顯然

FEF_1

，且

F\ne F_1

，這就與

F

是

S

的極大元產生了矛盾，所以

D(F)=X

，於是，Hahn-Banach延拓定理到此證明完畢。

Hahn-Banach延拓定理還有很多表述形式以及推論，在此就不一一列舉了。有興趣的讀者可以檢視張恭慶的《

泛函分析講義

》上冊相關章節，寫得還是蠻清楚的。到此，泛函分析三大基本定理的證明思路已經全部給出了，本系列文章也就到此結束了。歡迎大家繼續關注，之後我還會不定時的寫一些關於群論，拓撲學和微分幾何等課程的文章，也會寫一些數學史相關的科普作品，供大家一起交流和學習。個人認為，寒暑假才是學習數學的絕佳時期，因為沒有課程和作業的壓力，我們可以肆無忌憚地在家仔細看數學書，慢慢地推導公式和定理，把書上的每一個證明細節弄清楚。