今天，我們來介紹一個著名的廣義積分計算——狄利克雷

(\text{Dirichlet})

積分。並介紹一個關於該積分值的應用。

命題：積分

\int_{0}^{+∞}\frac{ {\rm sin}x}{x}{\rm d}x=\frac{\pi}{2}

。

在計算任何一個反常積分之前，我們必須先要證明其收斂性，我們不難得知，該廣義積分是條件收斂的，這個證明很容易得到，不予贅述。

在正式的證明之前，我們要做一些必要的準備工作。

這個結果有時也被稱為狄利克雷

(\text{Dirichlet})

積分：

引理：在區間

(0,\pi)

上定義

D_n(x)=\frac{{\rm sin}\frac{(2n+1)x}{2}}{2{\rm sin}\frac{x}{2}},n\in \rm N_+

,則有：

\int_{0}^{\pi}D_n(x){\rm d}x=\frac{\pi}{2}\\

證明：

顯然，

D_n(x)

在

x=0

處無定義，但是，可以得到

\lim_{x \rightarrow 0^+}{D_n(x)}=\frac{2n+1}{2}

，因此，

D_n(x)

在

[0,\pi]

可積。

我們有如下三角恆等式：

2{{\rm sin}\frac{x}{2}}\left( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{{\rm cos}kx}\right)={\rm sin}\frac{(2n+1)x}{2}\\

於是，我們有：

D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{{\rm cos}kx}\\

所以，不難得到：

\begin{align}\int_{0}^{\pi}D_n(x){\rm d}x &=\int_{0}^{\pi}\left( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{{\rm cos}kx}\right){\rm d}x\\&=\frac{\pi}{2}\end{align}\\

\tag*□

注：

這裡的被積函式

D_n(x)

即狄利克雷

(\text{Dirichlet})

核。

下面，我們正式開始我們的主題。

證明：

易知該反常積分條件收斂。

根據引理，有

\int_{0}^{\pi}\frac{{\rm sin}\frac{(2n+1)x}{2}}{2{\rm sin}\frac{x}{2}}{\rm d}x=\frac{\pi}{2}\\

考慮將其分母換為

x

所產生的影響。由洛必達

(L

法則，有

f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{{2{\rm sin}\frac{x}{2}}}=O(x)\quad(x\rightarrow 0)\\

因此

f

在

[0,\pi]

上常義可積。由黎曼—勒貝格

(\text{Riemann-Lebesgue})

定理，有

\lim_{n\rightarrow ∞}{f(x) \ {\rm sin}\left( n+\frac{1}{2} \right)}x \ {\rm d}x=0\\

即

\lim_{n \rightarrow ∞}{\int_{0}^{\pi}\frac{{\rm sin}\left( n+\frac{1}{2} \right)x}{x}}{\rm d}x= \lim_{n \rightarrow ∞}\int_{0}^{\pi} {\frac{{\rm sin}\left( n+\frac{1}{2} \right)x}{2{\rm sin}\frac{x}{2}}{\rm d}x=\frac{\pi}{2}}\\

最後，做代換

t=\left( n+\frac{1}{2} \right)x

，得

{\int_{0}^{\pi}\frac{{\rm sin}\left( n+\frac{1}{2} \right)x}{x}}{\rm d}x=\int_{0}^{\left( n+\frac{1}{2} \right)\pi}\frac{{\rm sin}t}{t}{\rm d}t\\

兩邊同令

n\rightarrow∞

，即得所要結果

\tag*□

下面，我們看一道關於狄利克雷

(\text{Dirichlet})

積分的例子。

例：

計算廣義積分

\int_{0}^{+∞}\frac{ {\rm sin}^2x}{x^2}{\rm d}x

。

解：

由分部積分

\begin{align}\int_{0}^{+∞}\frac{ {\rm sin}^2x}{x^2}{\rm d}x&=\int_{0}^{+∞}{{\rm sin}^2x}\ {\rm d}\left(- \frac{1}{x}\right)\\\\&=-\frac{{\rm sin}^2x}{x}\bigg|^{+∞}_{0}-\int_{0}^{+∞}- \frac{1}{x}{\rm d}( {\rm sin}^2x)\\\\&=-\frac{{\rm sin}^2x}{x}\bigg|^{+∞}_{0}+\int_{0}^{+∞}\frac{{\rm sin}2x}{x}{\rm d}x\\\end{align}\\

對於等式右邊

-\frac{{\rm sin}^2x}{x}\bigg|^{+∞}_{0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}{\frac{{\rm sin}^2x}{x}}-\lim_{x \rightarrow +∞}{\frac{{\rm sin}^2x}{x}}=0\\

另一項

\int_{0}^{+∞}\frac{{\rm sin}2x}{x}{\rm d}x\overset{t=2x}{=}\int_{0}^{+∞}\frac{{\rm sin}t}{t}{\rm d}t=\frac{\pi}{2}\\

從而

\int_{0}^{+∞}\frac{ {\rm sin}^2x}{x^2}{\rm d}x=\frac{\pi}{2}\\

\tag*□

今天的內容就介紹到這裡，在文末我們留幾道習題，以供讀者練習。

例1：

計算廣義積分

\int_{-\infty}^{+\infty}\sin\left(e^x\right)dx

。

例2：

計算廣義積分

\int_{0}^{+∞}\frac{ {\rm sin}^4x}{x^2}{\rm d}x

。

同一系列的另外兩篇文章見下：

碼字不易，還望支援。共勉。