本文為我們的公眾號【因子動物園】的第 5 篇推文，也是

低風險因子

專題的第 2 篇文章。原文請戳【【005】“茴”字有三種寫法，低風險異象因子呢？】。歡迎關注我們的公眾號，獲取更多關於因子投資文獻和本土化實證研究。

1。 低風險異象基礎

目前，大量文獻發現股票市場存在低風險異象（low risk anomaly），即風險低的股票反而能獲得更高的收益，這和CAPM的假設相悖，也不符合人們的常識。

利用低風險異象進行投資已經變成了一種流行的方式，主流的指數公司幾乎都設計和編制了相關指數，相關的基金產品也早已上市。

千里之行，始於足下，研究該異象的第一步便是度量股票風險。討論低風險異象的文獻比較多，提出了各色各樣衡量指標。本文介紹一些經典定義方式。這些指標形狀各異，既有共同的基因，又各自別具一格。

2。 因子列表

表1列出了因子定義及參考文獻，後續我們也將提供國內市場上相關因子的資料。

【005】“茴”字有三種寫法，低風險異象因子呢？

表1 因子列表。資料來源：因子動物園

3。 因子定義

接下來讓我們來逐個認識這些因子。

3。1。 總波動率（Total Volatility）

總波動率，又稱為簡單波動率，常常用過去T個交易日收益率的標準差進行估計，在 Blitz 和 Van Vliet（2007）有討論。T的選擇可長可短，越短估計結果變動越劇烈，越長結果變動越平滑。

利用日度收益率，年化總波動率的計算公式：

TV_i =\sqrt{252}std(r_i) = \frac{\sqrt{252}\times\sum_{t = 1}^{T} (r_{it} - \bar{r}_i)^2}{T - 1} \bar{r}i = \frac{\sum{t = 1}^T r_{it}}{T}

3。2。 特質波動率（Idiosyncratic Volatility）

因子模型認為個股收益同時受到共同因子和特異因子影響，前者作用於每一支個股，後者則是個股獨有的因素，且兩者不相關。相應地，個股的風險也由共同風險和特質風險組成。總波動率衡量的是個股整體的風險，但沒有對兩者進行區分，特質波動率則試圖將個股的特質風險從總體風險中剝離出來。

根據共同因子的不同定義，可以有多個版本的特質波動率。常見的有超額收益、單因子模型（CAPM）、Fama-French 三因子模型、Carhart 四因子模型和 Fama-French 五因子模型。例如，Ang、Hodrick、Xing 和 Zhang（2006， 2009）在計算特質波動率時，採用的就是Fama-French三因子模型殘差。

以Fama-French三因子模型為例，計算特質波動率的步驟如下。

首先，利用迴歸模型得到特質收益率，即下式中的

\epsilon_{i}

：

r_i-r_f = \alpha + \beta (r_m-r_f) + s SMB + h HML +\epsilon_i

然後，計算特質收益率的標準差並年化，即為特質波動率：

IdiVol_i = \sqrt{252}Std(\epsilon_i)

3。3。 特異度（Idiosyncratic $R^2$）

按照朱劍濤（2015）的定義，特異度因子定義為1減去因子模型的擬合優度，即

IdiRsquare_i=1-R_i^2

特異度反映了個股收益中不能被共同因子解釋的程度。特異度越高則說明個股的漲跌和市場大盤及主要風格的相關性越低，特有因素的貢獻越高，特質性風險越大。依據因子模型的不同選擇，特異度也可以有多種計算方式。

3。4。 離散度 （Dispersion）

離散度指標由特異度和特質波動率合成，劉富兵（2015）在其報告中測試過這個因子，其計算方式為：

Dispersion_i = \sqrt{1 - R_i^2}\times IdiVol_i

同樣，依據因子模型的不同選擇，離散度也有多種計算方式。

3。5。 累計振幅（Cumulative Range）

在 Barra 的結構化風險因子模型中，累計振幅為波動因子的一部分，用來區分不同個股的價格波動範圍寬窄，詳細定義可見 Orr，Mashtaler 和Nagy （2012）。

首先計算累計超額收益序列：

首先計算累計超額收益序列

Z(T)=(Z_1,Z_2,...,Z_T)

：

Z(t) = \sum_{t = 1}^T [ln(1 + r_t)-ln(1+r_{ft})]

進一步按照如下方式計算累計振幅：

CR_i = ln(1 + max(Z(t))) - ln(1 + min(Z(t)))

從累計振幅的定義可以看出，其衡量了個股價格波動的振動幅度，和最大回撤很相似。需要注意的是，Barra 在計算時採用的是過去12個月的月度資料，21個交易日表示1個月。

3。6。 市場貝塔（Market Beta）

市場 Beta 用來衡量股票收益相對於基準指數的波動情況，是評估股票風險的最常用指標之一。如果某個股票和市場組合價格波動完全一致，那麼其 Beta 值變為 1 ；如果某個股票價格波動小於市場，那麼 Beta 小於 1 ；如果某個股票價格波動大於市場，那麼 Beta 大於 1 。作為一種特殊情況，市場組合的 Beta 等於 1 。

常常用月度收益率估計CAPM，模型中的

\beta

即為市場Beta。Fama 和 French（1992）在估計個股市場 Beta 時，就採用的這種方式。

r_i - r_f = \alpha + \beta_i (r_m-r_f) \epsilon_i

即：

\beta_i=\frac{cov(r_i,r_m)}{var(r_m)}

Frazzini 和 Pedersen（2014）在估計市場Beta時，細節上做了最佳化。首先，用日度收益率估計市場beta，精確性更高；其次，因為不同程度的估計誤差，分別使用不同長度的資料估計個波動率和相關係數，再合成 Beta ；為了控制異常值的影響，對 beta 進行壓縮處理 （shrinkage estimator）。

3。7。 下行貝塔（Downside Beta）

Ang， Chen 和 Xing （2006）認為，用市場 Beta 來度量個股系統風險存在缺陷，因投資者往往更關注下行風險，故在計算市場 Beta 時，他們剔除了市場收益向上的樣本，只考慮下跌的交易日，即：

\beta_i^-=\frac{cov(r_i,r_m|r_m<\bar{r}_m)}{var(r_m|r_m<\bar{r}_m)}

其中

\bar{r}_m

為市場收益率的平均值。Ang et al。（2006） 的實證結果表明，下行 Beta 能較好地度量個股的系統性風險，能獲得明顯的下行風險溢價。

3。8。 總偏度

傳統的金融學理論假設資產收益率服從正態分佈，因此用均值和方差就能完全衡量其分佈特徵。但收益率的非正態分佈已經是公認的事實，因此收益率的高階矩包含著有用的資訊，其中最典型的便是收益率偏度（收益率的三階矩），該指標也稱為總偏度（Total Skewness）。

總偏度在 Bali， Engle 和 Murray（2016）的書中有詳細討論，由於投資者追求具有正偏度的股票，導致其價格容易被高估，預期收益率也因而較低。透過做空偏度大的股票，做多偏度小的股票，能獲得顯著超額收益。

總偏度的計算公式為：

Skew_i = \frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T{(r_{it}-\bar{r}i)^3}}{(\frac{1}{T}\sum{t=1}^T{(r_{it}-\bar{r}_i)^2})^{\frac{3}{2}}}

3。9。 特質偏度（Idiosyncratic Skewness）

和特質波動率類似，不考慮總收益率能被風險因子解釋的部分，只考慮特質收益率的偏度情況，即為特質偏度（Idiosyncratic Skewness）。因為特質收益率可以由不同的因子模型得出，因此特質偏度也可以有多個版本，例如 Boyer， Mitton 和Vorkink （2010） 的研究使用的Fama-French三因素模型殘差計算。

特質偏度的計算和總偏度相同，只是將收益率換為特質收益率，具體計算公式如下：

IdoSkew_i = \frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}{\epsilon_{it}^3}}{(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T{\epsilon_{it}^2})^{\frac{3}{2}}}

3。10。 協偏度（co-skewness，systematic skewness）

協偏度又被稱為系統偏度，用來刻畫個股對基準的相對偏態，考慮了比較基準的影響。其基本邏輯是，投資者在進行個股選擇時，當相對於整個市場具有明顯的正偏度時，其“彩票型”性質才會更具吸引力。

依據 Harvey 和 Siddique （2000） ，協偏度即為如下回歸中的

\gamma_i

［^1］。

r_i - r_f = \alpha + \beta_i (r_m-r_f) + \gamma_i(r_m-r_f)^2 + \epsilon_i

3。11。 潛在虧損（VaR）

VaR，即 Value at Risk，即風險價值模型，也稱在險價值模型，早在1993年被提出，已經被眾多金融機構用來測量市場風險。其更確切的含義是，在一定機率水平（置信度）下，某一股票在未來特定時期內可能收到的最大損失。

VaR的一般數學表示式為：

VaR_i = inf{\lbrace{r_i\in{R}:F{(r_i)>0.05}}\rbrace}

其中，

F{(r_i)}

為收益率

r_i

的累計分佈函式。上式的含義是，在置信水平為0。05的情況下，未來一段時間內，資產或組合的最大損失，故VaR用於度量資產或組合的潛在損失（尾部風險）。

3。12。 最大收益率（MAX）

MAX衡量股票異常正收益，表示潛在的收益可能性。Bali， Cakici 和 Whitelaw（2011）用過去一月中的最大日度收益率定義MAX，Asness、Frazzini、Gormsen 和 Pedersen （2016） 則用過去一個月中最大的5個日收益率均值定義MAX。

為了測試MAX的穩健性，Asness et al。（2016） 將計算週期拉長，在過去1年的裡選擇20個最大日收益率的平均值，作為MAX的替代方案。從結果來看，雖然更長的時間視窗降低了換手率，但因子收益也降低了。

另外，和市場beta等於相關係數乘以波動率一樣，一個股票的高MAX即可能是由高波動引起的，也可能是由於正偏度造成的，因此Asness et al。（2016） 定義了 Scaled MAX，即MAX/波動率。

3。13。 大盤相關性（BAC）

為了更深入地討論低 beta 異象，Asness、Frazzini、Gormsen 和 Pedersen （2016） 將 BAB 分解為 BAC 和 BAV 兩個部分，前者從大盤相關性的角度衡量系統性風險，後者從個股波動率的角度衡量投資者行為。

在計算個股和大盤相關性因子時，Asness採用了滾動5年資料計算，並透過3日收益率消除交易不同步的問題。

3。14。 尾部風險因子（Tail Risk Loading）

Kelly 和 Jiang （2014） 將 Tail Risk （尾部風險）納入到傳統的定價模型，這裡 Tail Risk 為整個市場的尾部風險，是一個潛在的系統性風險因子。

個股的尾部風險暴露透過兩個步驟估計。

首先，估計整個市場的尾部風險

\lambda_m

。在每個月，將所有股票日收益率放在一起，Kelly 和 Jiang 透過如下公式計算每個月的市場尾部風險：

\lambda_m = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{ln{\frac{r_{k}}{\mu}}}

其中，

\mu

為所有股票日收益率的25%分位數，

K

為收益率小於

\mu

的個數，

r_k

為第

k

個小於

\mu

的收益率。直覺上來講，

r_k

可以理解為相對於

\mu

的距離，如果整個值越大，說明有很多股票相對於

\mu

很遠，市場尾部風險較大。

然後，透過迴歸模型，計算個股在市場尾部風險上的暴露，便得到了尾部風險因子，即

\beta_{i}

［^2］。

r_i = \alpha + \beta_i \lambda_m + \epsilon_i

3。15。 系統風險變動因子（Innovations in Market Volatility）

如果市場波動率是一個系統風險，那麼對市場波動不同反應程度的股票，應該具有不同的收益率。Ang、Hodrick、Xing 和 Zhang（2006）討論了市場波動率在股票橫截面是如何定價的。

Ang et al。（2006）將市場波動率納入股票定價模型，並對理論模型進行了經驗簡化，用市值加權組合代替市場因子，用VIX的變化替代市場風險變動因子。透過估計如下模型中的

\beta_v

，即得到每個個股的系統風險變動因子：

r_i - r_f = \alpha + \beta_{im} (r_m-r_f) + \beta_{iv}\Delta{VIX} + \epsilon_i

3。16。 價格時滯（Price Delay）

價格時滯，顧名思義，衡量股票價格對市場資訊的反應快慢。如果價格時滯較大，表明股票價格對市場資訊的反應存在滯後，過去的市場收益能顯著解釋當前股票收益；相反，如果股票價格時滯較低，那麼股票收益和市場收益變動同步性較高。Hou 和 Moskowitz （2005） 利用過去1年的周度收益率資料估計價格時滯，結果表明，具有高價格時滯的股票，能獲得顯著的超額收益［^3］。

Hou 和 Moskowitz （2005） 的研究定義了三個價格時滯因子。

首先，估計如下兩個迴歸模型：

r_i = \alpha + \beta_{i} r_m + \epsilon_i

r_i = \alpha + \beta_{i} r_m + \sum_{l=1}^4{\delta_l r_{ml}}+ \epsilon_i

其中

l

表示滯後期數，

r_{ml}

表示滯後$l$期的市場收益率，

\delta_{l}

為相應的係數。

接下來，計算如下三個因子：

D_1 = 1 - \frac{R_{1}^2}{R_2^2}

其中，

R_{1}^2

為模型1的擬合優度，

R_{2}^2

為模型2的擬合優度。

D_2 = \frac{\sum_{l=1}^4{l \delta_l}}{\beta_{i}+\sum_{l=1}^4{ \delta_l}}

D_3 = \frac{\sum_{l=1}^4{\frac{l \delta_l}{se(\delta_l)}}}{\frac{\beta_{i}}{se(\beta_{i})}+\sum_{l=1}^4{\frac{\delta_l}{se(\delta_l)}}}

其中

se()

為迴歸係數估計的標準誤差。

4。 總結

本文梳理了16個常見的低風險異象因子，如果考慮到不同的計算細節，因子數量會進一步爆炸增長。無論如何，研究員需要時刻保持敬畏之心，以科學的態度和工匠的精神，反覆思考每一個因子的邏輯和定義。畢竟因子型別就那麼多，玩出花樣細節很重要。

若您也對因子研究感興趣，不妨關注我們哦！

【005】“茴”字有三種寫法，低風險異象因子呢？

【因子動物園】公眾號二維碼

參考文獻

Asness， C。 S。， Frazzini， A。， Gormsen， N。 J。， & Pedersen， L。 H。 （2016）。 Betting Against Correlation： Testing Theories of the Low-Risk Effect。 Social Science Research Network，。

Ang， A。， Chen， J。， & Xing， Y。 （2006）。 Downside risk。 Review of Financial Studies， 19（4）， 1191-1239。

Ang， A。， Hodrick， R。 J。， Xing， Y。， & Zhang， X。 （2006）。 The Cross-Section of Volatility and Expected Returns。 Journal of Finance， 61（1）， 259-299。

Ang， A。， Hodrick， R。 J。， Xing， Y。， & Zhang， X。 （2009）。 High Idiosyncratic Volatility and Low Returns： International and Further U。S。 Evidence。 Journal of Financial Economics， 91（1）， 1-23。

Bali， T。 G。， Cakici， N。， & Whitelaw， R。 F。 （2011）。 Maxing Out： Stocks as Lotteries and the Cross-Section of Expected Returns。 Journal of Financial Economics， 99（2）， 427-446。

Bali， T。 G。 ， Engle， R。 F。 ， & Murray， S。 。 （2016）。 Empirical asset pricing： the cross section of stock returns。

Blitz， D。， & Van Vliet， P。 （2007）。 The Volatility Effect： Lower Risk Without Lower Return。 ERIM report series research in management Erasmus Research Institute of Management，。

Boyer， B。 H。， Mitton， T。， & Vorkink， K。 （2010）。 Expected Idiosyncratic Skewness。 Review of Financial Studies， 23（1）， 169-202。

Barberis， N。， & Huang， M。 （2008）。 Stocks as Lotteries： the Implications of Probability Weighting for Security Prices。 The American Economic Review， 98（5）， 2066-2100。

Fama， E。 F。， & French， K。 R。 （1992）。 The Cross‐Section of Expected Stock Returns。 Journal of Finance， 47（2）， 427-465。

Frazzini， A。， & Pedersen， L。 H。 （2014）。 Betting Against Beta。 Journal of Financial Economics， 111（1）， 1-25。

Harvey， C。 R。， & Siddique， A。 R。 （2000）。 Conditional Skewness in Asset Pricing Tests。 Journal of Finance， 55（3）， 1263-1295。

Hou， K。， & Moskowitz， T。 J。 （2005）。 Market Frictions， Price Delay， and the Cross-Section of Expected Returns。 Review of Financial Studies， 18（3）， 981-1020。

Hou， K。， Xue， C。， & Zhang， L。 （2017）。 Replicating anomalies。 Social Science Electronic Publishing。

Kelly， B。 T。， & Jiang， H。 （2014）。 Tail Risk and Asset Prices。 Review of Financial Studies， 27（10）， 2841-2871。

Orr， D。 J。， Mashtaler， I。， & Nagy， A。 （2012）。 The Barra China Equity Model （CNE5）。 MSCI BARRA。

劉富兵。 （2015）。 如何將阿爾法因子轉化為超額收益。 國泰君安。

劉富兵。 （2018）。 基於不同域研究的多因子選股體系。 國泰君安。

朱劍濤。 （2015）。 投機、交易行為與股票收益（上）。 東方證券。

註釋：

［^1］：更多協偏度的計算方法和推導，可以見Bali， Cakici 和 Whitelaw（2011）、Bali， Engle 和Murray（2016）以及 Hou、Xue 和 Zhang（2017）。

［^2］：需要注意的是，按照原論文，在估計迴歸模型時，尾部風險

\lambda

需要滯後一個月，即因變數為

t

月個股收益率，自變數為

t-1

月尾部風險。

［^3］：Hou 和 Moskowitz （2005）的研究表明價格時滯和股票收益正相關，劉富兵（2018）得出了相同的結論，但朱劍濤（2015）的研究結果卻相反。經過對比，朱劍濤（2015）的研究採用是過去1個月的日度資料計算，這可能是兩者結果不同的主要原因。