改善EMD端點效應的方法
幾種改善EMD端點效應方法的比較研究
摘要：經驗模態分解（E
MD
）的一個關鍵問題是改善端點效應。目前工程上已經提出了多種處理方法。在此對端點映象方法、多項式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界區域性特徵尺度延拓法等5種方法進行對比研究，利用分解訊號與原訊號的相似係數、分解訊號與原訊號的平均相對誤差以及演算法的執行時間作為端點處理方法的評價指標。模擬結果表明，極值延拓法是處理準週期訊號的相對較好的EMD端點效應處理方法。
0 引言
1998 年，Huang 等人提出了一種新的訊號處理方法：經驗模態分解方法（Empirical Mode Decomposition，EMD）。它用不同特徵尺度的資料序列本徵模函式（Intrinsic Mode Function，IMF）分量來逐級分解訊號。
該方法可以對一個非平穩訊號進行平穩化處理。在EMD分解中，每個IMF需要多次“篩選”過程，而每一次篩選過程，需要根據上、下包絡計算出訊號的區域性平均值。上（下）包絡是由訊號的區域性極大（小）值透過3次樣條插值得到的。但訊號的端點不可能同時處於極大值或極小值，因此上、下包絡在資料序列兩端會發散，且這種發散會隨著運算的進行而逐漸向內，從而使得整個資料序列受到影響，這就是所謂的EMD 方法的端點效應。
國內外很多研究者對改進EMD端點效應問題進行了研究。目前，常用的EMD 端點效應處理方法有
映象法、極值延拓法、神經網路預測、多項式外延方法、平行延拓法、邊界區域性特徵尺度延拓法
。神經網路延拓演算法的運算速度慢，在工程應用中實時性差。所以本文只對映象法、極值延拓法、多項式法、平行延拓法和邊界區域性特徵尺度延拓法進行比較，從而得到對工程應用有指導意義的結果。
1 EMD方法
EMD方法中假設：
（1）任何訊號都可以分解為若干個IMF分量；
（2）各個IMF分量可以是線性的或非線性的，區域性的零點數和極值點數相同，且上下包絡關於時間軸區域性對稱；
（3）一個訊號可包含若干個IMF分量。
每個IMF分量的計算步驟為：
首先，計算原訊號x（t） 的極值點，然後用三次樣條函式擬合出極大（小）值包絡線e+（t）（ e-（t））。原訊號的均值包絡m1（t） 是上下包絡線的平均值：
若h11（t） 不滿足IMF 定義的條件，則它不是平穩訊號，重複進行上述過程k 次（ k 一般小於10），直到找到滿足IMF的定義的h1k （t） ，則x（t） 的一階IMF分量為：
將r1（t） 作為原始資料，再得到第2個IMF分量c2 （t） ，依此類推，得到n 個IMF 分量，直到rn （t） 是單調函式或常量時，EMD分解過程停止。
最後，x（t） 經EMD分解後得到：
式中rn （t） 為趨勢項，代表訊號的平均趨勢或均值。
2 改善端點效應的幾種方法
本文在Matlab下實現了5種常用的改善EMD 端點效應的方法，並用於比較
測試
，它們分別為：
（1）端點映象方法。以訊號兩端的邊界為對稱，把訊號向外對映，得到原訊號的映象，形成一個閉合的曲線，從而得到完整的包絡曲線。
（2）極值延拓法。以端點的一個特徵波為依據，在兩端各延拓兩個極大值和極小值。
（3）多項式擬合法。對原訊號的極值點序列，利用端點處3 個極值點進行多項式擬合計算出的值作為端點處極值點的近似取值，以確定邊界極值點的位置。
（4）平行延拓法。利用端點附近的兩個相鄰極值點（一個極大值，一個極小值）處斜率相等這一特性，人為在兩端定義出兩個極值點。
（5）邊界區域性特徵尺度延拓法。把調幅趨勢和端點處區域性極值點的時間間隔相結合，在訊號兩端分別新增一對極大值點和極小值點。
3 端點效應評價指標
本文采用3個指標來評價多種端點效應處理方法的效果：
（1）計算EMD 分解後各分量訊號與對應的原訊號之間的相似係數ρ 訊號的包絡發生形狀畸變，引起端點效應，從而使各個分量的分解不準確。可以比較EMD分解後的各IMF分量和原訊號分量之間的相似度，來評價各抑制端點效應演算法的抑制效果。
式中：cov-（ ） 表示協方差；σ-（ ） 表示方差；IMFi 表示訊號經過EMD分解後的第i 個模態分量；xi 為相對應的原訊號組成分量。ρ 值越大，說明端點效應的抑制越好。
（2）計算EMD 分解後得到的各IMF 分量和原訊號相應的分量之間的平均相對誤差［9］。
式中：N 表示訊號的總個數；xi（k） 表示原訊號第i 個分量；IMFi（k） 表示EMD 分解後得到的相應分量。
error_IMFi 越小，說明端點效應的抑制越好。
（3）運算時間。保證演算法抑制端點效應效果的前提下，演算法不能過於複雜，以滿足實時性。
4 實驗結果分析
假定測試訊號是一個調頻調幅非線性模擬訊號，其表示式為：
式中取樣頻率1 000 Hz，取樣點數250 點，時域波形如圖1所示。
為了比較延拓後的分解結果，將原訊號的組成分量一併給出，圖2是沒有進行端點處理的訊號EMD分解結果，從圖中可以看到，在兩端點處有比較大的失真，並且會“ 向內汙染”。圖2~圖7 中虛線為原分量；實線為EMD的分解結果。
圖3~圖7分別是用端點映象方法、多項式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界區域性特徵尺度延拓法延拓後得到的EMD分解結果。
由圖可知，這幾種方法都有效改善了EMD 的端點效應，其中極值延拓法對於端點效應的改善比較明顯，其他方法得到的結果，在兩端仍有發散現象。表1給出了文中所述5種端點抑制方法對所給訊號處理後的效能評價結果。
由表1給出引數可看出，對於給定準週期的測試訊號，極值延拓法分解得到相似係數最大，分解誤差最小，分解精度最高；平行延拓法得到的相似係數最小，分解誤差最大，分解精度較低。比較執行時間，極值延拓法和平行延拓法計算速度最快，多項式擬合法耗時較長。
5 結語
在EMD 分解過程中，由於多次對區域性極大值和區域性極小值運用3次樣條插值，從而產生了引起失真的端點效應。對於本文給出的準週期的測試訊號，端點映象方法、多項式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界區域性特徵尺度延拓法5種方法都能改善EMD分解的端點效應問題。其中，極值延拓法是5種方法中分解效果最好的、運算速度最快的延拓方法，在工程技術應用中處理類似的訊號，可以將其作為端點效應處理的主要方法。當然，工程應用中的訊號千差萬別，對於不同形式的訊號，各種改善EMD 端點效應的延拓方法效能各異。在實際應用中，最好根據所處理訊號的特點選擇合適的延拓方法。本文所用評價方法，只對實際工程選用合適的延拓方法提供一個參考。（作者：祁豔傑，王黎明，楊澤輝，付朝霞）